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Band 69

Iterative Lösung großer schwachbesetzter Gleichungssysteme

Aus der Reihe Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik - Teubner Studienbücher

49,99 €

inkl. gesetzl. MwSt., Versandkostenfrei

Beschreibung

Produktdetails

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

01.01.1993

Abbildungen

und erw. mit zahlreichen Abbildungen 20,5 cm

Verlag

Vieweg & Teubner

Seitenzahl

404

Maße (L/B/H)

21,6/14/2,1 cm

Gewicht

516 g

Auflage

2. Auflage 1993

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-519-12372-9

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Taschenbuch

Erscheinungsdatum

01.01.1993

Abbildungen

und erw. mit zahlreichen Abbildungen 20,5 cm

Verlag

Vieweg & Teubner

Seitenzahl

404

Maße (L/B/H)

21,6/14/2,1 cm

Gewicht

516 g

Auflage

2. Auflage 1993

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-519-12372-9

Herstelleradresse

Vieweg+Teubner Verlag
Abraham-Lincoln-Straße 46
65189 Wiesbaden
DE

Email: ProductSafety@springernature.com

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  • Notationen.- 1 Einleitung.- 1.1 Historische Bemerkungen zu Iterationsverfahren.- 1.2 Das Modellproblem (Poisson-Gleichune).- 1.3 Aufwand ft direkte Lösung des Gleichungssystems.- 1.4 Beispiele für iterative Verfahren.- 2 Grundlagen aus der Linearen Algebra.- 2.1 Bezeichnungen für Vektoren und Matrizen.- 2.1.1 Nichtangeordnete Indexmenge.- 2.1.2 Bezeichnungen und Notationen.- 2.1.3 Sternnotation.- 2.2 Lineare Gleichungssysteme.- 2.3 Permutationsmatrizen.- 2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 2.5 Blockvektoren, Blockmatrizen.- 2.6 Normen.- 2.6.1 Vektornormen.- 2.6.2 Äquivalenz aller Normen.- 2.6.3 Zugeordnete Matrixnormen.- 2.7 Skalarprodukt.- 2.8 Normalformen.- 2.8.1 Schur-Normalform.- 2.8.2 Jordan-Normalform.- 2.8.3 Diagonalisierbarkeit.- 2.9 Zusammenhang zwischen Normen und Spektralradius.- 2.9.1 Zugeordnete Matrixnormen als obere Eigenwertschranken.- 2.9.2 Die Spektralnorm.- 2.9.3 Den Spektralradius approximierende Matrixnormen.- 2.9.4 Die geometrische Reihe (Neumannsche Reihe) für Matrizen.- 2.9.5 Der numerische Radius einer Matrix.- 2.10 Positiv definite Matrizen.- 2.10.1 Definitionen und Bezeichnungen.- 2.10.2 Rechenregeln und Kriterien frnnitiv definite Matriten.- 2.10.3 Folgerungen für positiv definite Matrizen.- 3 Allgemeines zu iterativen Verfahren.- 3.1 Allgemeine Aussagen zur Konvergenz.- 3.1.1 Bezeichnuneen.- 3.1.2 Fixpunkte.- 3.1.3 Konsistenz.- 3.1.4 Konvergenz.- 3.1.5 Konvergenz und Konsistenz.- 3.2 Lineare Iterationsverfahren.- 3.2.1 Bezeichnungen, erste Normalform.- 3.2.2 Konsistenz zweite und dritte Normalform.- 3.2.3 Darstellung der Iterierten xm.- 3.2.4 Konvergenz.- 3.2.5 Konvergenzgeschwindigkeit.- 3.2.6 Bemerkungen zu den Normalformmatrizen M, N und W.- 3.2.7 Produktiterationen.- 3.2.8 Drei-Term-Rekursionen (Zweischrittiterationen).- 3.3 Effektivität von Iterationsverfahren.- 3.3.1 Rechenaufwand.- 3.3.2 Effektivität.- 3.3.3 Ordnung der linearen Konvergenz.- 3.4 Test iterativer Verfahren.- 3.5 Erläuterungen zu den Pascal-Prozeduren.- 3.5.1 Zu Pascal.- 3.5.2 Zu den Testbeispielen.- 3.5.3 Konstanten und Typen.- 3.5.4 Format der Iterationsprozeduren.- 3.5.5 Testumgebung.- 4 Jacobi-, Gauß-Seidel- und SOR-Verfahren im positiv definiten Fall.- 4.1 Eigenwertanalyse des Modellproblems.- 4.2 Konstruktion der Iterationsverfahren.- 4.2.1 Jacobi-Iteration.- 4.2.1.1 Die additive Aufspaltung der Matrix A.- 4.2.1.2 Definition des Jacobi-Verfahrens.- 4.2.1.3 Pascal-Prozedur.- 4.2.2 Gauß-Seidel-Verfahren.- 4.2.2.1 Definition.- 4.2.2.2 Pascal-Prozedur.- 4.3 Gedämpfte bzw extrapolierte Iterationsverfahren.- 4.3.1 Gedämpftes Jacobi-Verfahren 82 4.3.1.1 Definition.- 4.3.1.2 Pascal-Prozeduren.- 4.3.2 Richardson-Iteration.- 4.3.2.1 Definition.- 4.3.2.2 Pascal-Prozeduren.- 4.3.3 SOR-Verfahren.- 4.3.3.1 Definition.- 4.3.3.2 Pascal-Prozeduren.- 4.4 Konvergenzuntersuchung.- 4.4.1 Richardson-Iteration.- 4.4.2 Jacobi-Iteration.- 4.4.3 Gauß-Seidel- und SOR-Verfahren.- 4.5 Blockversionen.- 4.5.1 Block-Jacobi-Verfahren.- 4.5.1.1 Definition 1n.- 4.5.1.2 Pascal-Prozeduren.- 4.5.2 Block-Gauß-Seidel und Block-SOR-Verfahren.- 4.5.2.1 Definition.- 4.5.2.2 Pascal-Prozeduren.- 4.5.3 Konvergenz der Blockvarianten.- 4.6 Aufwand der Verfahren.- 4.6.1 Der Fall allgemeiner, schwachbesetzter Matrizen.- 4.6.2 Aufwand im Modellfall.- 4.7 Konvergenzraten im Falle des Modellproblems.- 4.7.1 Richardson- und Jacobi-Iteration.- 4.7.2 Block-Jacobi-Iteration.- 4.7.3 Numerische Beispiele zu den Jacobi-Varianten.- 4.7.4 SOR und Block-SOR-Iteration mit numerischen Beispielen.- 4.8 Symmetrische Verfahren.- 4.8.1 Allgemeine Form der symmetrischen Iteration.- 4.8.2 Konvergenz.- 4.8.3 Symmetrisches Gauß-Seidel-Verfahren.- 4.8.4 Adjungierte und zugehörige symmetrische Iterationen.- 4.8.5 SSR: Symmetrisches SO.- 4.8.6 Pascal-Prozeduren und numerische Resultate zu SSOR.- 5. Analyse im 2-zyklischen Fall.- 5.1 Die 2-zyklischen Matrizen.- 5.2 Vorbereitende Lemmata.- 5.3 Analyse der Richardson-Iteration.- 5.4 Analyse des Jacobi-Verfahrens.- 5.5 Analyse der Gauß-Seidel-Iteration.- 5.6 Analyse des SOR-Verfahrens.- 5.6.1 Konsistent eor dl p t e Matrizen.- 5.6.2 Satz von Young.- 5.6.3 Ordnungsverbesserung durch SOR.- 5.6.4 Praktische Handhabung des SOR-Verfahrens.- 5.7 Anwendung auf das Modellproblem.- 5.7.1 Analyse im Modellfall.- 5.7.2 Gauß-Seidel-Iteration: numerische Beispiele.- 5.7.3 SOR-Iteration: numerische Beispiele.- 5.8 Ergänzungen.- 5.8.1 p-zyklische Matrizen.- 5.8.2 Modifiziertes SOR.- 5.8.3 SSOR im 2-zyklischen Fall.- 5.8.4 Unsymmetrisches SOR-Verfahren.- 6 Analyse für M-Matrizen.- 6.1 Positive Matrizen.- 6.2 Graph einer Matrix und irreduzible Matrizen.- 6.3 Perron-Frobenius-Theorie positiver Matrizen.- 6.4 M-Matrizen.- 6.4.1 Definition.- 6.4.2 Zusammenhang zwischen M-Matrizen und Jacobi-Iteration.- 6.4.3 Diagonaldominanz.- 6.4.4 Weitere Kriterien.- 6.5 Reguläre Aufspaltuneen.- 6.6 Anwendungen.- 7 Semiiterative Verfahren.- 7.1 Erste Formulierung.- 7.1.1 Allgemeines.- 7.1.2 Konsistenz asymptotische Konvergenzrate.- 7.1.3 Fehlerdarstellung.- 7.2 Zweite Formulierung semiiterativer Verfahren.- 7.2.1 Allgemeine Darstellung.- 7.2.2 Pascal-Realisierung der zweiten Formulierung.- 7.2.3 Dreitermrekursion.- 7.3 Ontinale Pn1vnnn.- 7.3.1 Aufgabenstellung.- 7.3.2 Distssion der zweiten Minimierungsaufgabe.- 7.3.3 ebyšëv-Polynome.- 7.3.4 Die ?ebyšëv-Methode.- 7.3.5 Konvergenzordnungsverbesserung durch ? ebyšëv-Methode.- 7.3.6 Optimierung über andere Mengen.- 7.3.7 Die zyklische Iteration.- 7.3.8 Eine Umformulierung.- 7.3.9 Mehrschrittiterationen.- 7.3.10 Pascal-Prozeduren.- 7.3.11 Aufwand der semiiterativen Methode.- 7.4 Anwendung auf bekannte Iterationen.- 7.4.1 Vorbemerkungen.- 7.4.2 Das semiiterative Richardson-Verfahren.- 7.4.3 Das semiiterative Jacobi- und Block-Jacobi-Verfahren.- 7.4.4 Das semiiterative SSOR- und Block-SSOR-Verfahren.- 7.5 Verfahren der alternierenden Richtungen (ADI).- 7.5.1 Erklärung am Modellproblem.- 7.5.2 Allgemeine Darstellung.- 7.5.3 ADf im kommutativen Fall.- 7.5.4 Die ADI-Methode und semiiterative Verfahren.- 7.5.5 Pascal-Prozeduren.- 7.5.6 Aufwandsüberlegungen und numerische Beispiele.- 8 Transformationen, sekundäre Iterationen, unvollständige Dreieckszerlegungen.- 8.1 Erzeugung von Iterationen durch Transformatinnen.- 8.1.1 Bisherige Techniken zur Iterationserzeugung.- 8.1.2 Die Linkstransformation.- 8.1.3 Die Rechtstransformation.- 8.1.4 Die beidseitige Transformation.- 8.2 Die Kaczmarz-Iteration.- 8.2.1 Ursprüngliche Formulierung.- 8.2.2 Interpretation als Gauß-Seidel-Verfahren.- 8.2.3 Pascal-Prozeduren und numerische Beispiele.- 8.3 Präkonditionierung.- 8.3.1 Zur Begriffsbildung.- 8.3.2 Beispiele.- 8.3.3 Rechenregeln für Konditionszahlen.- 8.4 Sekundäre Iterationen.- 8.4.1 Beispiele füir sekundäre Iterationen.- 8.4.2 Konvergenzanalyse im allgemeinen Fall.- 8.4.3 Analyse im symmetrischen Fall.- 8.4.4 Abschätzune des Aufwandes 21S.- 8.4.5 Pascal-Prozeduren.- 8.4.6 Numerische Beispiele.- 8.5 Unvollständige Dreieckszerlegungen.- 8.5.1 Einführung, ILU-Iteration.- 8.5.2 Unvollständige Zerlegung beziglich eines Sternmusters.- 8.5.3 Anwendung auf allgemeine Fünfpunktformeln.- 8.5.4 Modifiziere ILU-Zerlegungen.- 8.5.5 Zur Existenz und Stabilität der ILU-Zerlegung.- 8.5.6 Eigenschaften der ILU-Zerlegung.- 8.5.7 ILU-Zerlegung zuanderen Muschte.- 8.5.8 Approximative ILU-Zerlegungen.- 8.5.9 Blockweise ILU-Zerlegungen.- 8.5.10 Pascal-Prozeduren.- 8.5.11 Numerische Beispiele.- 8.5.12 Anmerkungen.- 8.6 Ein überflüssiger Begriff: Zeitschrittverfahren.- 9 Verfahren der konjugierten Gradienten.- 9.1 Lineare Gleichungssysteme als Minimierungsaufgabe.- 9.1.1 Minimierungsaufgabe.- 9.1.2 Suchrichtungen.- 9.1.3 Andere quadratische Funktionale.- 9.1.4 Der komplexe Fall.- 9.2 Gradientenverfahren.- 9.2.1 Konstruktion.- 9.2.2 Eigenschaften des Gradientenverfahrens.- 9.2.3 Numerische Beispiele.- 9.2.4 Gradientenverfahren basierend auf anderen Iterationen.- 9.2.5 Pascal-Prozeduren und numerische Beisniele.- 9.3 Methode der konjugierten Richtungen.- 9.3.1 Optimalität beziglich einer Richtung.- 9.3.2 Konjugierte Richtungen.- 9.4 Methode der konjugierten Gradienten.- 9.4.1 Erste Formulierung.- 9.4.2 Das cg-Verfahren (angewandt auf die Richardson-Iteration).- 9.4.3 Konvergenzanalyse.- 9.4.4 Die cg-Methode angewandt auf symmetrische Iterationen.- 9.4.5 Pascal-Prozeduren.- 9.4.6 Numerische Beispiele im Modellfall.- 9.4.7 Aufwand der cg-Methode.- 9.4.8 Eignung fir sekundäre Iterationen.- 9.5 Verallgemeinerungen.- 9.5.1 Formulierung mit allgemeinerer Bilinearform.- 9.5.2 Das Verfahren der konjugierten Residuen.- 9.5.3 Dreitermrekursion für Dm.- 9.5.4 Stabilisiertes Verfahren der konjugierten Residuen.- 9.5.5 Konvergenzresultate fir indefinite Matrizen A.- 9.5.6 Pascal-Prozeduren.- 9.5.7 Numerische Beispiele.- 9.5.8 Das Verfahren der orthogonalen Richtungen.- 9.5.9 Lösung unsymmetrischer Systeme.- 9.5.10 Weitere Anmerkungen.- 10 Mehrgitteriterationen.- 10.1 Einfihrung.- 10.1.1 Glättung.- 10.1.2 Hierarcie der Gleichungssysteme.- 10.1.3 Prolongation.- 10.1.4 Restriktion.- 10.1.5 Grobgitterkorrektur.- 10.2 Das Zweigitterverfahren.- 10.2.1 Algorithmus.- 10.2.2 Modifikationen.- 10.2.3 Iterationsmatrix.- 10.2.4 Pascal-Prozeduren.- 10.2.5 Numerische Beispiele.- 10.3 Analyse für ein eindimensionales Beispiel.- 10.3.1 Fourier-Analyse.- 10.3.2 Transformierte Größen.- 10.3.3 Konvergenzresultate.- 10.4 Mehrgitteriteration.- 10.4.1 Algorithmus.- 10.4.2 Pascal-Prozeduren.- 10.4.3 Niimerishe Resnltate.- 10.4.4 Rechenaufwand.- 10.4.5 Iterationsmatrix.- 10.5 Geschachtelte Iteration.- 10.5.1 Algorithmus.- 10.5.2 Genauigkeitsanalyse.- 10.5.3 Rechenaufwand.- 10.5.4 Pascal-Prozeduren.- 10.5.5 Numerische Resultate.- 10.5.6 Anmerkungen.- 10.6 Konvergenzanalyse.- 10.6.1 bersicht.- 10.6.2 Glättungseigenschaft.- 10.6.3 Approximationseigenschaft.- 10.6.3.1 Formulierung.- 10.6.3.2 Die Galerkin-Diskretisierung.- 10.6.3.3 Hierarchie der Gleichungssysteme.- 10.6.3.4 Kanonische Prolongation und Restriktion.- 10.6.3.5 Fehlerabschätzung der Galerkin-Lösung.- 10.6.3.6 Beweis der Approximationseigenschaft.- 10.6.4 Konvergenz der Zweigitteriteration.- 10.6.5 Konvergenz der Mehrgitteriteration.- 10.6.6 Der schwächer reeuläre Fall.- 10.7 Symmetrische Mehrgitterverfahren.- 10.7.1 Der symmetrische Mehrgitteralgorithmus.- 10.7.2 Zweigitterkonvergenzaussagen für v1 > 0, v2 > 0.- 10.7.3 Glättungseigensciaft im symmetrischen Fall.- 10.7.4 Verschärfte Zweigitterkonvergenzaussagen.- 10.7.5 V-Zykluskonvergenz.- 10.7.6 Mehrgitterkonvergenz für alle v2 > 0.- 10.8 Kombination von Mehrgitter- mit semiiterativen Verfahren.- 10.8.1 Semiiterative Glätter.- 10.8.2 Gedämpfte Grobgitterkorrekturen.- 10.8.3 Mehrgitteriteraton als Basis des cg-Verfahrens.- 10.9 Anmerkungen.- 10.9.1 Mehrgitterverfahren zweiter Art.- 10.9.2 Zur Geschichte der Mehrgitterverfahren.- 10.9.3 Robuste Methoden.- 10.9.4 Filternde Zerlegungen.- 11 Gebietszerlegungsmethoden.- 11.1 Allgemeines.- 11.2 Formulierung der Gebietszerlegungsmethode.- 11.2.1 Allgemeine Konstruktion.- 11.2.2 Zu den Prolongationen.- 11.2.3 Multiplikative und additive Schwarz-Iteration.- 11.2.4 Interpretation als Gauß-Seidel- bzw Jacobi-Iteration.- 11.2.5 Die klassische Schwarz-Iteration.- 11.2.6 Genäherte Lösung der Teilprobleme.- 11.2.7 Verschärfte Abscätzung A ? ?W.- 11.3 Eigenschaften der additiven Schwarz-Iteration.- 11.3.1 Parallelität.- 11.3.2 Konditionsabschätzungen.- 11.3.3 Konvergenzaussagen.- 11.4 Analyse der multiplikativen Schwarz-Iteration.- 11.4.1 Konvergenzaussagen.- 11.4.2 Beweis der Konvergenzsätze.- 11.5 Beispiele.- 11.5.1 Schwan-Verfahren mit echter Gebietszerlegung.- 11.5.2 Additive Schwarz-Iteration mit Grobgitterkorrektur.- 11.5.3 Formulierung im Fall einer Galerkin-Diskretisierung.- 11.6 Mehrgitterverfahren als Unterraumzerlegung.- 11.6.1 Eine spezielle Zweigittermethode.- 11.6.2 Der V-Zyklus als multiplikative Schwarz-Iteration.- 11.6.3 Beweis der V-Zyklus-Konvergenz.- 11.6.4 Methode der hierarchischen s is.- 11.6.5 Mehrstufige Schwarz-Iteration.- 11.6.6 Weitere Aisätze für Zerlegungen in Unterräume.- 11.6.7 Indefinite und unsymmetrische Systeme.- 11.7 Schur-Komplement-Methoden.- 11.7.1 Nichtüiberlappende Gebietszerlegung mit innerem Rand.- 11.7.2 Direkte Lö sung.- 11.7.3 Die Kapazitätsmatrixmethode.- 11.7.4 Gebietszerlegung mit nichtüberlappenden Gebieten.- 11.7.5 Mehrgitterähnliche Gebietszerlegungsmethoden.- 11.7.6 Weitere Anmerkungen.- Stichwortverzeichnis.- Verzeichnis der Pascal-Namen.