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Lineare numerische Analysis

Aus der Reihe Logik und Grundlagen der Mathematik

49,95 €

inkl. gesetzl. MwSt., Versandkostenfrei

Beschreibung

Produktdetails

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

01.01.1972

Verlag

Vieweg & Teubner

Seitenzahl

359

Maße (L/B/H)

24,4/17/2 cm

Gewicht

621 g

Auflage

1971

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-528-08291-8

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Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

01.01.1972

Verlag

Vieweg & Teubner

Seitenzahl

359

Maße (L/B/H)

24,4/17/2 cm

Gewicht

621 g

Auflage

1971

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-528-08291-8

Herstelleradresse

Vieweg+Teubner Verlag
Abraham-Lincoln-Straße 46
65189 Wiesbaden
DE

Email: ProductSafety@springernature.com

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  • 1. Elementare Eigenschaften von Matrizen.- 1.1. Allgemeine Theorie.- 1.1.1. Definition des Vektorraumes.- 1.1.2. Lineare Abbildungen.- 1.1.3. Lineare Abbildungen von Rn in Rm (bzw. von in Cn in Cm).- 1.2. Matrizenrechnung.- 1.2.1. Summe zweier Matrizen.- 1.2.2. Multiplikation mit einer Zahl.- 1.2.3. Das Produkt von zwei Matrizen.- 1.2.4. Produkte spezieller Matrizen.- 1.2.4.1. Dreiecksmatrizen.- 1.2.4.2. Basismatrizen.- 1.2.5. Numerische Berechnung des Matrizenproduktes.- 1.2.6. Aus einer gegebenen Matrix abgeleitete Matrizen.- 1.2.6.1. Transponierte Matrix.- 1.2.6.2. Konjugierte und adjungierte Matrizen (über C).- 2. Vektor- und Matrizennormen.- 2.1. Grundlegende Eigenschaften.- 2.1.1. Definition der Norm.- 2.1.2. Beispiele für Vektornormen.- 2.1.3. Matrizennormen.- 2.1.4. Vergleich der Hölderschen Normen ?p(x) (p ? 1).- 2.1.5. ALGOL-Prozedur zur Berechnung von drei Matrizennormen.- 2.1.6. Definition „geometrischer“ Normen.- 2.1.7. „Geometrische“ Matrizennormen.- 2.1.8. Matrizennormen in ?(n,n) (quadratische Matrizen).- 2.1.9. Rn (bzw. Cn) als Hilbertraum.- 3. Invertierung von Matrizen—Theorie.- 3.1. Lineare Unabhängigkeit von Vektoren.- 3.1.1. Definition der linearen Unabhängigkeit.- 3.1.2. Erzeugendensysteme.- 3.1.3. Definition der Basis.- 3.2. Hauptsatz über die Existenz von Lösungen eines homogenen linearen Systems mit mehr Unbekannten als Gleichungen.- 3.2.1. Lineare Gleichungssysteme. Bezeichnungen.- 3.2.2. Beweis des Hauptsatzes.- 3.3. Dimension.- 3.4. Isomorphie des Rn (bzw. Cn) zu jedem Vektorraum über R (bzw. C) von endlicher Dimension n.- 3.5. Umkehrbarkeit einer linearen Abbildung von Rn in Rm (bzw. von Cn in Cm).- 3.6. Linearität der inversen Abbildung einer umkehrbaren linearen Abbildung. Inverse Matrix.- 3.7. Indikator der linearen Unabhängigkeit.- 3.8. Eigenschaften der Determinanten.- 3.9. Existenz und Konstruktion von Determinanten.- 3.10. Formeln und Definitionen.- 3.11. Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Invertierbarkeit einer Matrix A aus ?(n,n).- 3.12. Invertierbarkeit und Norm.- 3.13. Lösung eines linearen Systems (Theorie).- 4. Direkte Lösungsmethoden für lineare Systeme.- 4.1. Diagonalsysteme.- 4.2. Dreieckssysteme.- 4.3. Invertierung von Dreiecksmatrizen.- 4.3.1. Allgemeines Prinzip.- 4.3.2. Dreiecksmatrizen.- 4.4. Allgemeiner Fall: Der Gaußsche Algorithmus oder die Methode der einfachen Elimination.- 4.4.1. Einführung.- 4.4.2. Satz.- 4.4.3. Zerlegung einer Matrix aus ?(n,n) in ein Produkt TA?.- 4.4.4. Darstellung verschiedener Grundbegriffe der „normalen“ Elimination (mit von Null verschiedenen Diagonalelementen).- 4.5. Der Gaußsche Algorithmus zur Lösung eines linearen Systems. Einfache Elimination; Rechenschema.- 4.6. Verbesserter Gaußscher Algorithmus. Das Verfahren von Crout.- 4.7. Die Methode von Jordan (Diagonalisierungsverfahren. Vollständige Elimination).- 4.7.1. Theorie.- 4.7.2. Rechenschritte.- 4.8. Orthogonalisierungsmethoden. Schmidtsches Verfahren.- 4.8.1. Definitionen.- 4.8.2. Quadratische Matrizen.- 4.8.3. Invarianz des Skalarproduktes.- 4.8.4. Das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.- 4.8.5. Lösung eines linearen Systems durch Zeilenorthogonalisierung.- 4.8.6. Flußdiagramm des (Zeilen-)Orthogonalisierungsverfahrens.- 4.8.7. Die Matrizen der unitären Gruppe von ?(n,n) Rotationsmethode.- 4.8.7.1. Der Rotationsalgorithmus.- 4.8.7.2. Bedeutung der Rotationsmethode.- 4.8.7.3. Anwendung: Erzeugende der unitären Gruppe.- 4.9. Anwendung der allgemeinen direkten Verfahren zur Invertierung einer Matrix.- 4.9.1. Gaußscher Algorithmus.- 4.9.2. Jordansches Verfahren.- 4.9.3. Orthogonalisierungsverfahren.- 4.10. Berechnung von Determinanten.- 4.11. Systeme mit symmetrischen Matrizen.- 4.11.1. Gaußscher Algorithmus.- 4.11.2. Jordansches Verfahren.- 4.11.3. Orthogonalisierungsverfahren.- 4.11.4. Die Methode von Cholesky. Nichtsinguläre symmetrische Matrizen.- 4.11.4.1. Theorie.- 4.11.4.2. Der Algorithmus von Cholesky.- 4.12. Teilmatrizenverfahren.- 4.12.1. Zerlegungstechnik.- 4.13. Ergänzungsverfahren.- Aufgaben zu den Kapiteln 1–4.- 5. Indirekte Lösungsmethoden.- 5.1. Iteration und Relaxation.- 5.1.1. Prinzip.- 5.1.2. Relaxation (bezüglich einer Komponente).- 5.1.2.1. Die Methode von Southwell.- 5.1.2.2. Die Methode von Gauss-Seidel.- 5.1.2.3. Überrelaxationsverfahren.- 5.2. Lineare Iteration.- 5.2.1. Iteration bezüglich einer Zerlegung von A.- 5.2.2. Konvergenz der linearen Iterationsverfahren.- 5.2.3. Anwendungen.- 5.2.3.1. Aus dem Satz von Hadamard abgeleitete hinreichende Bedingungen.- 5.2.3.2. Untersuchung der Überrelaxation für hermitesche Matrizen über G (bzw. symmetrische Matrizen über R).- 5.2.3.3. Sätze zur Lokalisierung von Eigenwerten.- 5.3. Iterationen durch Projektionsmethoden.- 5.3.1. Geometrische Interpretation.- 5.3.2. Zerlegung einer allgemeinen Norm.- 5.3.3. Projektionen auf die zu ATzr normalen Ebenen.- 5.3.4. Beispiele.- 5.3.4.1. Projektionen auf Ebenen, die dem betragsgrößten Residuum entsprechen.- 5.3.4.2. Projektionen, die der Zerlegung der Norm ?1 im dritten Beispiel aus 5.3.2. entsprechen.- 5.3.4.3. Ein der Zerlegung von ?2 = ? ? entsprechendes Verfahren.- 5.3.5. Das Verfahren von Cimmino.- 5.4. Iterationen für Systeme mit symmetrischer Matrix.- 5.4.1. Einführung.- 5.4.2. Beispiele.- 5.4.2.1. Relaxationsmethoden (für AT = A).- 5.4.2.2. Methode des stärksten Abstiegs.- 5.4.2.3. Gradientenmethode.- 5.4.2.4. Methode der konjugierten Gradienten (Methode von Stiefel-Hestenes).- 5.5. Bemerkungen (für den Fall nichtsymmetrischer Systeme).- 5.6. Bemerkungen zur Konvergenz und Konvergenzverbesserung.- 5.7. Verbesserung der Elemente einer inversen Matrix (Hotelmng-Bodewig).- Aufgaben zu Kapitel 5.- 6. Invariante Unterräume.- 6.1. Einführung.- 6.2. Invariante Unterräume.- 6.3. Polynomtransformationen.- 6.4. Invariante Unterräume und Polynomtransformationen.- 6.5. Diagonalform.- 6.6. Das charakteristische Polynom.- 6.7. Polynommatrizen. Elementarteiler von Polynommatrizen.- 6.8. Normalformen. Basen bezüglich einer linearen Transformation.- 6.8.1. ?-Basen in ?n.- 6.8.2. Satz über die Existenz eines Erzeugendensystems.- 6.8.3. Die erste Normalform.- 6.8.4. Beziehungen zwischen der Normalform und den Teilern des Minimalpolynoms von ?.- 6.8.5. Zweite Normalform (Jordansche Normalform).- 6.9. Funktionen von linearen Transformationen (Matrizenfunktionen).- 6.9.1. Elementare Eigenschaften. Wert einer Funktion auf einem Spektrum.- 6.9.2. Definition einer Funktion durch Interpolationsformeln.- 6.9.3. Eigenschaften.- 6.9.4. Reihendarstellung von Matrizenfunktionen.- 6.9.5. Anwendungen.- 7. Anwendung der Eigenschaften invarianter Unterräume.- 7.1. Der Satz von Schub und Schlußfolgerungen.- 7.1.1. Der Satz von Schur.- 7.1.2. Schlußfolgerungen aus dem Satz von Schur.- 7.2. Polare Zerlegung.- 7.2.1. Einführung.- 7.2.2. Normale Matrizen.- 7.3. Matrizen mit nichtnegativen Elementen.- 7.4. Graphentheorie und Matrizen mit positiven Elementen.- 7.4.1. Der zu einer Matrix mit positiven Elementen gehörige orientierte Graph.- 7.4.1.1. Definition.- 7.4.1.2. Der zu einer Matrix gehörige Graph.- 7.4.2. Zusammenhang.- 7.4.3. Orientierte Graphen nichtnegativer Matrizen.- 7.5. Vergleich der klassischen linearen Iterationen.- 7.5.1. Wiederholung und Bezeichnungen.- 7.5.2. Spektralradien von ??.- 7.6. Die Young-Frankelsche Theorie der Überrelaxation.- 7.6.1. Definitionen.- 7.6.2. Der Satz von Young.- 7.6.3. Problemstellung.- 7.7. Die Polynommethode. Das Verfahren von Peaceman-Rachford.- 7.7.1. Die Polynommethode.- 7.7.2. Das Überrelaxationsverfahren von Peaceman-Rachford.- 7.7.3. Das Minimierungsproblem.- 7.8. Approximation des Spektralradius einer Matrix über eine Norm.- 8. Numerische Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.- 8.1. Methoden zur direkten Bestimmung der charakteristischen Gleichung.- 8.1.1. Methoden, denen die Berechnung von Det(A — ?I) = F(?) zugrunde liegt.- 8.1.2. Direkte Anwendung des Satzes von Cayley-Hamilton (Krylow, Frazer, Duncan, Collar).- 8.1.3. Die Methode von Leverrier.- 8.1.4. Die Methode von Souriau (Methode von Faddejew-Frame).- 8.1.5. Die Methode von Samuelson.- 8.1.6. Die Zerlegungsmethode.- 8.2. Bestimmung des charakteristischen Polynoms mit Hilfe von Ähnlichkeitstransformationen.- 8.2.1. Der Fall nicht notwendig symmetrischer Matrizen.- 8.2.1.1. Ähnlichkeitstransformationen durch Matrizen mit Minimalpolynomen zweiten Grades.- 8.2.1.2. Die Methode von Lanczos.- 8.2.2. Der Fall symmetrischer Matrizen A aus ?(n,n) (R) (Methode von Givens).- 8.2.2.1. Givenssche Transformationen.- 8.2.2.2. Das charakteristische Polynom einer symmetrischen dreidiagonalen Matrix.- 8.2.2.3. Bestimmung der Eigenvektoren.- 8.3. Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren durch Iterationsverfahren (für nicht notwendig symmetrische Matrizen).- 8.3.1. Die Potenzmethode.- 8.3.2. Das Abspaltungsverfahren.- 8.3.2.1. Abspaltungen bezüglich der Matrix.- 8.3.2.2. Abspaltung bezüglich der Anfangsvektoren.- 8.4. Hermitesche (bzw. symmetrische) Matrizen.- 8.4.1. Methode von Jacobi.- 8.4.1.1. Jacobischer Algorithmus.- 8.4.1.2. Praktische Durchführung.- 8.4.2. Die Methode von Rutishauser.- 8.4.2.1. Erläuterung der allgemeinen LR- Methode.- 8.4.2.2. Die Konvergenz der Folge {Ak}.- Aufgaben zu den Kapiteln 6–8.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.