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  • Produktbild: Theta-Funktionen und spezielle Weierstraßsche Funktionen
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Band 2

Theta-Funktionen und spezielle Weierstraßsche Funktionen

Aus der Reihe Praktische Funktionenlehre

49,99 €

inkl. gesetzl. MwSt., Versandkostenfrei

Beschreibung

Produktdetails

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

26.05.2012

Abbildungen

VIII, mit 176 Abbildungen, schwarz-weiss Illustrationen

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

248

Maße (L/B/H)

27,9/21/1,5 cm

Gewicht

648 g

Auflage

Softcover reprint of the original 1st ed. 1966

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-642-51617-7

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Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

26.05.2012

Abbildungen

VIII, mit 176 Abbildungen, schwarz-weiss Illustrationen

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

248

Maße (L/B/H)

27,9/21/1,5 cm

Gewicht

648 g

Auflage

Softcover reprint of the original 1st ed. 1966

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-642-51617-7

Herstelleradresse

Springer-Verlag KG
Sachsenplatz 4-6
1201 Wien
AT

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  • 1 Theta-Funktionen.- 1. Theta-Funktionen als einfach periodische singuläre Lösungen eindimensionaler homogener Fourierscher Differentialgleichungen.- 2. Hyperbolische Reihenentwicklungen.- 3. Theta-Funktionen für imaginäres Argument.- 4. Substitutionen.- 5. Funktionalgleichungen.- 6. Funktionsverlauf und spezielle Funktionswerte.- 7. Ableitungen und spezielle Funktionswerte der Ableitungen.- 8. Theta-Funktionen vom Argument ? = 0 und $$\zeta = {\textstyle{1 \over 4}}$$.- 9. Maclaurin-Entwicklungen der Theta-Funktionen.- 10. Darstellung der Theta-Funktionen als unendliche Produkte.- IL Nullstellen der Theta-Funktionen.- 12. Produkte und Quadrate von Theta-Funktionen und Parameterfunktionen.- 13. Vierfache Produkte und vierte Potenzen.- 14. Gausssche und Landensche Transformation.- 15. Additionstheoreme.- 16. Einführung zweier weiterer Theta-Funktionen, ? (?, ?) und ? (?, ?).- 2 Logarithmen der Theta-Funktionen.- 17. Funktionalgleichmigen, Substitutionen und Transformationen der Logarithmen der Theta-Funktionen und ihrer ersten und zweiten Ableitungen.- 18. Partielle Differentialgleichungen.- 19. Trigonometrische und hyperbolische Keihenentwicklungen. Doppelt periodische logarithmische Quotientenfunktionen. Funktionsverlauf.- 20. Darstellung der zweiten logarithmischen Ableitungen durch Quotienten von Theta-Funktionen.- 21. Differentialgleichungen der zweiten und dritten logarithmischen Ableitungen der Theta-Funktionen $$\vartheta \mathop {_1 }\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } (\zeta ,x)$$. Einführung der Funktionen $$\wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } $$ und der Invarianten $$g_{\mathop 2\limits_3 } $$.- 22. Die logarithmischen und die natürlichen Ableitungen der 12 Quotienten der Funktionen ?1(?, ?), ?2(?, ?), ?3(?, ?), ?4(?, ?).- 23. Differentialgleichungen der zweiten logarithmischen Ableitungen der Theta-Funktionen $$\vartheta _{\mathop 5\limits_6 } (\zeta ,x)$$ Einführung der Funktionen $$\wp _{\mathop 5\limits_6 } $$ und der Invarianten $$\overline {g_{\mathop 2\limits_3 } } $$.- 24. Differentialbeziehungen zwischen den logarithmischen Ableitungen der Theta-Funktionen.- 25. Additionstheoreme.- 3 Farameterfunktionen.- 26. Bezeichnimgen.- 27. Die Funktionen k und k?.- 28. Die Funktionen K und K?.- 29. Hypergeometrische Reihenentwicklungen für K und K?.- 30. Die Funktionen E und E? Legendresche Relation.- 31. Hypergeometrische Reihenentwicklung für E.- 32. Darstellung bestimmter Integrale durch E und K.- 33. Ableitungen linearer Funktionen von E und K.- 34. Reihendarstellungen von E und K in der Umgebung von k? = 0 und von E’ und K’ in der Umgebung von k = 0.- 35. Reihendarstellungen für ? und 1/?.- 36. Differentialgleichung für 1/K als Funktion von ?.- 37. Darstellungen von $$\vartheta _{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } ^{\prime \prime } (0,x)/\vartheta _{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } (0,x)\,{\rm und}\,\vartheta _{\rm 1} ^{\prime \prime \prime } (0,x)/\vartheta '(0,x) $$.- 38. Ableitungen von E und K nach ?.- 39. E und K für doppelte und halbe Parameter.- 40. Darstellungen von $$\vartheta _{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } ^{\prime '''} (0,x)/\vartheta _{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } (0,x)\,{\rm und}\,\vartheta _{\rm 1} ^{\prime ''''} (0,x)/\vartheta '(0,x)$$.- 41. Darstellung der Koeffizienten der Entwicklungen der vier ersten Theta-Fimktionen durchE, K und k?2.- 42. Die FunktionenB, C und D.- 43. Die Funktion A. (Integral von K über k2).- 44. Integrale mit E, K, B, C, D und A.- 45. K, E undA für imaginäre Werte und Reziprokwerte vonk Weitere bestimmte Integrale.- 46. Weitere Integrale mit K, E und A.- 47. Komplexe Transformationsgleichungen für K und E.- 48. Die Funktionen $$\ell _{1,\,} \ell _{2,\,} \ell _{3,\,} g_{2,\,} g_{3,\,} \bar g_{2,\,} \bar g_{3,} \eta _1 ,\bar \eta _{1,\,} \eta _{2,\,} \bar \eta _2$$.- 49. Möglichkeiten zur Entwicklung einfacher Näherungsformeln.- 50. Auf fünf Stellen genaue Näherungsformeln für den Bereich 0 ? ? ? 1.- 51. Auf fünf Stellen genaue Näherungsformeln für den Bereich 0 ? l/x ?.- 52. Auf fünf Stellen genaue Näherungsformehi für den Bereich $$0\,\underline{\underline \prec } \,k'\underline{\underline \prec } \,\sqrt {{1 \over 2}} $$.- 53. Auf fünf Stellen genaue Näherungsformeln für den Bereich $$0\,\underline{\underline \prec } \,k\underline{\underline \prec } \,\sqrt {{1 \over 2}} $$.- 4 Spezielle Weierstraßsche $$\wp $$-Funktionen.- 54. Definitions- und Funktionalgleichimgen.- 55. Periodenverhalten und Substitutionen; imaginäre Transformation.- 56. Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung.- 57. Trigonometrische und hyperbolische Reihenentwicklungen.- 58. Werte der $$\wp $$-Funktionen für die Argumente z = 0 und z = K, Entwicklungen an der Stelle 2 = 0.- 59. Exponentialentwicklungen von Parameterfunktionen.- 60. Potenzreihen-Entwicklungen der Theta-Funktionen und ihrer Logarithmen. Normierte Theta-Funktionen und zugehörige partielle Differentialgleichungen.- 61. Die Wurzelwerte der Gleichungen $$ 4\wp ^3 - g_2 \wp - g_3 = 0\,und\,4\wp ^3 - \overline g _2 - \wp \overline g _3 = 0 $$.- 62. Die Kennfunktionen $$ g_3 /\sqrt {g_2^3 } \,und\,\overline g _3 /\sqrt {\overline g _2^3 } $$. Äquianharmonische Sonderfälle.- 63. Die Umkehrungen der WEIEBSTRASSschen Funktionen und die 12 elliptischen Normalintegrale erster Gattung in der WEIERSTEASsschen Form.- 64. Allgemeine elliptische Integrale erster Gattung in der Weierstrassschen Form.- 65. Die Ableitungen nach.- 66. Darstellung der Ableitungen $$ \wp '_1 \,und\,\wp '_5 $$ durch Theta-Funktionen. Theta-Funktionen vom doppelten Argument.- 67. Trigonometrische, hyperbolische und Potenzreihen-Entwicklungen der Ableitungen nach z.- 68. Höhere Ableitungen und Differentialgleichungen höherer Ordnimg.- 69. Polverhalten.- 70. Konvergenzkreise zu den Entwicklungen der $$ [\wp - \,und\,\wp ' $$-Funktionen.- 71. Funktionswerte an den Stellen $$ 0,\frac{1}{2},\frac{{ix}}{2},\frac{1}{2} + \frac{{ix}}{2}\,bzw.\,0,K,iK',K + iK' $$.- 72. Homogenitätstransformation für $$ \wp _1 \,und\,\wp _5 $$.- 73. Gatjsssche Transformation.- 74. Landensche Transformation.- 75. Doppelargument-Transformation.- 76. Halbargument-Transformation.- 77. Reelle Darstellung der GAtrssschen Transformation.- 78. Substitutionen für die Argumentwerte $$ z + \frac{K}{2},\,\,z + \frac{{iK'}}{2},\,z + \frac{K}{2} + \frac{{iK'}}{2} $$.- 79. Funktionswerte an den Stellen $$ \frac{1}{4},\,\frac{{ix}}{4},\,\frac{1}{4} + \frac{{ix}}{4}\,bzw.\,\frac{1}{2}K,\,\frac{i}{2}K',\frac{1}{2}(K + iK') $$.- 80. Funktionsverlauf im Beeilen. Ausartungen für x ? 0 und x ? ?.- 81. Funktionsverlauf der Ableitungen im Beeilen. Ausartungen für und x ? 0 und x ? ?.- 82. Nullstellen im Reellen.- 83. Besonderheiten des quadratmasehigen Parameterfalles, (x = 1 bzw. k = k? = $$ \sqrt {\frac{1}{2}} $$.- 84. Besonderheiten der äquianharmonischen Parameterfälle. (Polmaschennetze unter 60° und 30°).- 85. Additionstheoreme.- 86. Verhalten der $$ \wp $$-Funktionen im Komplexen.- 87. Ausartungen im Komplexen.- 88. Umkehrfunktionen von und $$ \wp _1 \,und\,\wp _5 $$ im Komplexen und Ausartungen.- 89. Logarithmen der $$ \wp $$-Funktionen im Komplexen.- 90. Ausartung der Logarithmen der $$ \wp $$-Funktionen im Komplexen.- 91. Umkehrfunktionen der Logarithmen von $$ \wp _1 \,und\,\wp _5 $$ im Komplexen.- 92. Darstellung der $$ \wp $$-Funktionen durch Quotienten von Quadraten von Theta-Funktionen. Beziehungen zwischen den um $$ e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } $$ bzw. —2e2 verminderten $$ \wp $$-Funktionen.- 93. Weitere Darstellungen der Ableitungen der $$ \wp $$-Funktionen nach z. Logarithmische Ableitungen der Funktionen $$ \wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } \,\text{und}\,\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$.- 94. Darstellung der Produkte $$ \frac{{(\wp - e_i )\,(\wp - e_j )}}{{(\wp - e_k )}} $$ durch $$ \wp $$-Funktionen.- 95. Differentialgleichungen und ergänzende Darstellungen der logarithmischen Ableitungen der Funktionen $$\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$.- 96. Darstellung der Funktionen ip $$\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$ als Ableitungen von Area-Tangens- bzw. Area-Cotangens-Funktionen nach z.Weitere Produktdarstellungen.- 97. Weitere ergänzende Darstellungen der logarithmischen Ableitungen der Funktionen $$\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$-Weitere Funktionalgleichungen.- 98. Die Quadrate der $$ \wp $$-Funktionen und der Funktionen $$ \wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } \,\text{und }\wp _{\mathop \text{5}\limits_\text{6} } + 2e_2 $$.- 99. Die Differenzen der $$ \wp $$-Funktionen als zweite logarithmische Ableitungen.- 100. Produkte und Quadrate logarithmischer Ableitungen der Funktionen $$\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$.- 101. Einiges über das Verhalten der Funktionen $$ \wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } \,\text{und}\,\wp _{\mathop 5\limits_6 } + 2e_2 $$ sowie der Funktionen ln $$(\wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } ) $$ und 2 In$$ \text{(}\wp _{\mathop \text{5}\limits_\text{6} } + 2e_2 ) $$ bzw. 2In $$ \sqrt {\wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$ und 2In $$ \sqrt {\wp _{\mathop \text{5}\limits_\text{6} } + 2e_2 } $$ im Komplexen. Pole, Nullstellen und Randwerte im Grund Periodenbereich.- 102. Additionstheoreme der logarithmischen Ableitungen der Theta-Funktionen.- 103. 36 zweiparametrige Integrale. Identitätsgleichungen.- 104. Produktgruppen von Theta-Funktionen und ?-Funktionen.- 105. Die 12 elliptischen Normalintegrale zweiter Gattung in der Weierstbassschen Form.- 106. Die 40 elliptischen Normalintegrale dritter Gattung in der Weierstrassschen Form und die zugehörigen 28 Sonderintegrale. Rekursionsformeln für verwandte Integrale.- 107. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals in der Weierstrassschen Form auf Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung.