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Was ist Mathematik?

54,99 €

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Beschreibung

Produktdetails

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

01.10.1993

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

402

Maße (L/B/H)

23,5/15,5/2,4 cm

Gewicht

652 g

Auflage

4. Auflage 1992

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-540-99519-7

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Erscheinungsdatum

01.10.1993

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

402

Maße (L/B/H)

23,5/15,5/2,4 cm

Gewicht

652 g

Auflage

4. Auflage 1992

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-540-99519-7

Herstelleradresse

Springer-Verlag GmbH
Tiergartenstr. 17
69121 Heidelberg
DE

Email: ProductSafety@springernature.com

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  • Erstes Kapitel Die natürlichen Zahlen.- 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen.- 1. Gesetze der Arithmetik.- 2. Darstellung der positiven ganzen Zahlen.- 3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen.- 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems. Mathematische Induktion.- 1. Das Prinzip der mathematischen Induktion.- 2. Die arithmetische Reihe.- 3. Die geometrische Reihe.- 4. Die Summe der ersten n Quadrate.- 5. Eine wichtige Ungleichung.- 6. Der binomische Satz.- 7. Weitere Bemerkungen zur mathematischen Induktion.- Ergänzung zu Kapitel I. Zahlentheorie.- 1. Die Primzahlen.- 1. Grundtatsachen.- 2. Die Verteilung der Primzahlen.- a) Formeln zur Konstruktion von Primzahlen.- b) Primzahlen in arithmetischen Folgen.- c) Der Primzahlsatz.- d) Zwei ungelöste Probleme, die Primzahlen betreffen.- 2. Kongruenzen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Der kleine Fermatsche Satz.- 3. Quadratische Reste.- 3. Pythagoreische Zahlen und großer Fermatscher Satz.- 4. Der euklidische Algorithmus.- 1. Die allgemeine Theorie.- 2. Anwendung auf den Fundamentalsatz der Arithmetik.- 3. Eulers?-Funktion. Nochmals kleiner Fermatscher Satz.- 4. Kettenbrüche. Diophantische Gleichungen.- Zweites Kapitel Das Zahlensystem der Mathematik.- 1. Die rationalen Zahlen.- 1. Messen und Zählen.- 2. Die innere Notwendigkeit der rationalen Zahlen. Prinzip der Verallgemeinerung.- 3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen.- 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff.- 1. Einleitung.- 2. Unendliche Dezimalbrüche.- 3. Grenzwerte. Unendliche geometrische Reihen.- 4. Rationale Zahlen und periodische Dezimalbrüche.- 5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervallschachtelungen.- 6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte.- 3. Bemerkungen über analytische Geometrie.- 1. Das Grundprinzip.- 2. Gleichungen von Geraden und Kurven.- 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabzählbarkeit des Kontinuums.- 3. Cantors „Kardinalzahlen“.- 4. Die indirekte Beweismethode.- 5. Die Paradoxien des Unendlichen.- 6. Die Grundlagen der Mathematik.- 5. Komplexe Zahlen.- 1. Der Ursprung der komplexen Zahlen.- 2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen.- 3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln.- 4. Der Fundamentalsatz der Algebra.- 6. Algebraische und transzendente Zahlen.- 1. Definition und Existenz.- Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen.- Ergänzung zu Kapitel II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra).- 1. Allgemeine Theorie.- 2. Anwendung auf die mathematische Logik.- 3. Eine Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung.- Drittes Kapitel Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkörper.- Zahlkörper.- I. Teil. Unmöglichkeitsbeweise und Algebra.- 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen.- 1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln.- 2. Regelmäßige Vielecke.- 3. Das Problem des Apollonius.- 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkörper.- 1. Allgemeine Theorie.- 2. Alle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch.- 3. Die Unlösbarkeit der drei griechischen Probleme.- 1. Verdoppelung des Würfels.- 2. Ein Satz über kubische Gleichungen.- 3. Winkeldreiteilung.- 4. Das regelmäßige Siebeneck.- 5. Bemerkungen zum Problem der Quadratur des Kreises.- II. Teil. Verschiedene Konstruktionsmethoden.- 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Eigenschaften der Inversion.- 3. Geometrische Konstruktion in verser Punkte.- 4. Halbierung einer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktes mit dem Zirkel allein.- 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln. Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein.- 1. Eine klassische Konstruktion zur Verdoppelung des Würfels.- Beschränkung auf die Benutzung des Zirkels allein.- 3. Das Zeichnen mit mechanischen Geräten. Mechanische Kurven. Zykloiden.- 4. Gelenkmechanismen. 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Das Dualitätsprinzip.- 6. Analytische Darstellung.- 1. Einleitende Bemerkungen.- 2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualität.- 7. Aufgaben über Konstruktionen mit dem Lineal allein.- 8. Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung.- 1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte.- 2. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte.- 3. Kegelschnitte als Hüllkurven.- 4. Pascals und Brianchons allgemeine Sätze für Kegelschnitte.- 5. Das Hyperboloid.- 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie.- 1. Die axiomatische Methode.- 2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie.- 3. Geometrie und Wirklichkeit.- 4. Poincarés Modell.- 5. Elliptische oder Riemannsche Geometrie.- Anhang. Geometrie in mehr als drei Dimensionen.- 1. Einleitung.- 2. Die analytische Definition.- 3. Die geometrische oder kombinatorische Definition.- Fünftes Kapitel Topologie.- 1. Die Eulersche Polyederformel.- 2. Topologische Eigenschaften von Figuren.- 1. Topologische Eigenschaften.- 2. Zusammenhang.- 3. Andere Beispiele topologischer Sätze.- 1. Der Jordansche Kurvensatz.- 2. Das Vierfarbenproblem.- 3. Der Begriff der Dimension.- 4. Ein Fixpunktsatz.- 5. Knoten.- 4. Topologische Klassifikation der Flächen.- 1. Das Geschlecht einer Fläche.- 2. Die Eulersche Charakteristik einer Fläche.- 3. Einseitige Flächen.- 1. Der Fünffarbensatz.- 2. Der Jordansche Kurvensatz für Polygone.- 3. Der Fundamentalsatz der Algebra.- Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte.- 1. Variable und Funktion.- 1. Definitionen und Beispiele.- 2. Das Bogenmaß eines Winkels.- 3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen.- 4. Zusammengesetzte Funktionen.- 5. Stetigkeit.- 6. Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 7. Funktionen und Transformationen.- 2. Grenzwerte.- 1. Der Grenzwert einer Folge an.- 2. Monotone Folgen.- 3. Die Eulersche Zahl e.- 4. Die Zahl ?.- 5. Kettenbrüche.- 3. Grenzwerte bei stetiger Annäherung.- 1. Einleitung. Allgemeine Definition.- 2. Bemerkungen zum Begriff des Grenzwertes.- 3. Der Grenzwert von $$\frac{{\sin x}}{x}$$.- 4. Grenzwerte für x ? ?.- 4. Genaue Definition der Stetigkeit.- 5. Zwei grundlegende Sätze über stetige Funktionen.- 1. Der Satz von Bolzano.- 2. Beweis des Bolzanoschen Satzes.- 3. Der Satz von Weierstrass über Extremwerte.- 4. Ein Satz über Zahlenfolgen. Kompakte Mengen.- 6. Einige Anwendungen des Satzes von Bolzano.- 1. Geometrische Anwendungen.- 2. Anwendung auf ein mechanisches Problem.- Ergänzung zu Kapitel VI. Weitere Beispiele für Grenzwerte und Stetigkeit.- 1. Beispiele von Grenzwerten.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Der Grenzwert von qn.- 3. Der Grenzwert von $$\sqrt[n]{p}$$.- 4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen.- 5. Grenzwerte durch Iteration.- 2. Ein Beispiel für Stetigkeit.- Siebentes Kapitel Maxima und Minima.- 1. Probleme aus der elementaren Geometrie.- 1. Die maximale Fläche eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten.- 2. Der Satz des Heron. Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen.- 3. Anwendungen auf Probleme für Dreiecke.- 4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel. Entsprechende Extremaleigenschaften.- 5. Extreme Abstände von einer gegebenen Kurve.- 2. Ein allgemeines Prinzip bei Extremalproblemen.- 1. Das Prinzip.- 2. Beispiele.- 3. Stationäre Punkte und Differentialrechnung.- 1. Extremwerte und stationäre Punkte.- 2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabein. Sattelpunkte.- 3. Minimaxpunkte und Topologie.- 4. Der Abstand eines Punktes von einer Fläche.- 4. Das Schwarzsche Dreiecksproblem.- 1. Der Schwarzsche Spiegelungsbeweis.- 2. Ein zweiter Beweis.- 3. Stumpfwinklige Dreiecke.- 4. Dreiecke aus Lichtstrahlen.- 5. Bemerkungen über Reflexionsprobleme und ergodische Bewegung.- 5. Das Steinersche Problem.- 1. Das Problem und seine Lösung.- 2. Diskussion der beiden Alternativen.- 3. Ein komplementäres Problem.- 4. Bemerkungen und Übungen.- 5. Verallgemeinerung auf das Straßennetz-Problem.- 6. Extrema und Ungleichungen.- 1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver Größen.- 2. Verallgemeinerung auf n Variablen.- 3. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 7. Die Existenz eines Extremums. Das Dirichletsche Prinzip.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Beispiele.- 3. Elementare Extremalprobleme.- 4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen.- 8. Das isoperimetrische Problem.- 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen. Zusammenhang zwischen dem Steinerschen Problem und dem isoperimetrischen Problem.- 10. Die Variationsrechnung.- 1. Einleitung.- 2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der Optik.- 3. Bernoullis Behandlung des Problems der Brachystochrone.- 4. Geodätische Linien auf einer Kugel. Geodätische Linien und Maxi-Minima.- 11. Experimentelle Lösungen von Minimumproblemen. Seifenhautexperimente.- 1. Einführung.- 2. Seifenhautexperimente.- 3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem.- 4. Experimentelle Lösungen anderer mathematischer Probleme.- Achtes Kapitel Die Infinitesimalrechnung.- 1. Das Integral.- 1. Der Flächeninhalt als Grenzwert.- 2. Das Integral.- 3. Allgemeine Bemerkungen zum Integralbegriff. Endgültige Definition.- 4. Beispiele. Integration von xn.- 5. Regeln der Integralrechnung.- 2. Die Ableitung.- 1. Die Ableitung als Steigung.- 2. Die Ableitung als Grenzwert.- 3. Beispiele.- 4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.- 5. Differentiation und Stetigkeit.- 6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung.- 7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung.- 8. Maxima und Minima.- 3. Die Technik des Differenzierens.- 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das „Unendlich Kleine“.- 5. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- 1. Der Fundamentalsatz.- 2. Erste Anwendungen. Integration von xr, cos x, sin x, arc tan x.- 3. Die Leibnizsche Formel für ?.- 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmus.- 1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl e.- 2. Die Exponentialfunktion.- 3. Differentiationsformeln für ex, ax, x8.- 4. Explizite Ausdrücke für e, ex und Inx als Limites.- 5. Unendliche Reihen für den Logarithmus. Numerische Berechnung.- 7. Differentialgleichungen.- 1. Definition.- 2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. Radioaktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins.- 3. Weitere Beispiele. Einfachste Schwingungen.- 4. Newtons Grundgesetz der Dynamik.- Ergänzung zu Kapitel VIII.- 1. Grundsätzliche Fragen.- 1. Differenzierbarkeit.- 2. Das Integral.- 3. Andere Anwendungen des Integralbegriffes. Arbeit. Länge.- 2. Größenordnungen.- 1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x.- 2. Die Größenordnung von In (n!).- 3. Unendliche Reihen und Produkte.- 1. Unendliche Reihen von Funktionen.- 2. Die Eulersche Formel cos x + i sin x= eix.- 3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt für den Sinus.- 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden.- Ergänzungen, Probleme und Übungsaufgaben.- Arithmetik und Algebra.- Analytische Geometrie.- Geometrische Konstruktionen.- Projektive und nichteuklidische Geometrie.- Topologie.- Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit.- Maxima und Minima.- Infinitesimalrechnung.- Integrationstechnik.- Hinweise auf weiterführende Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.