Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Inhaltsverzeichnis

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie.- 1 Grundlegende Begriffe über Mengen.- 1.1 Definition und Darstellung einer Menge.- 1.2 Mengenoperationen.- 1.3 Spezielle Zahlenmengen.- 2 Rechnen mit reellen Zahlen.- 2.1 Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften.- 2.1.1 Rationale, irrationale und reelle Zahlen.- 2.1.2 Rundungsregeln.- 2.1.3 Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengerade.- 2.1.4 Grundrechenarten.- 2.2 Intervalle.- 2.3 Bruchrechnung.- 2.4 Potenzen und Wurzeln.- 2.5 Logarithmen.- 2.6 Binomischer Lehrsatz.- 3 Elementare (endliche) Reihen.- 3.1 Definition einer Reihe.- 3.2 Arithmetische Reihen.- 3.3 Geometrische Reihen.- 3.4 Spezielle Zahlenreihen.- 4 Gleichungen mit einer Unbekannten.- 4.1 Algebraische Gleichungen.- 4.1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen.- 4.1.2 Lineare Gleichungen.- 4.1.3 Quadratische Gleichungen.- 4.1.4 Kubische Gleichungen.- 4.1.5 Bi-quadratische Gleichungen.- 4.2 Lösungshinweise für nichtalgebraische Gleichungen.- 4.3 Graphisches Lösungsverfahren.- 4.4 Tangentenverfahren von Newton.- 5 Lehrsätze aus der elementaren Geometrie.- 5.1 Satz des Pythagoras.- 5.2 Höhensatz.- 5.3 Kathetensatz (Euklid).- 5.4 Satz des Thales.- 5.5 Strahlensätze.- 5.6 Sinussatz.- 5.7 Kosinussatz.- 6 Ebene geometrische Körper (Planimetrie).- 6.1 Dreiecke.- 6.1.1 Allgemeine Beziehungen.- 6.1.2 Spezielle Dreiecke.- 6.1.2.1 Rechtwinkliges Dreieck.- 6.1.2.2 Gleichschenkliges Dreieck.- 6.1.2.3 Gleichseitiges Dreieck.- 6.2 Quadrat.- 6.3 Rechteck.- 6.4 Parallelogramm.- 6.5 Rhombus oder Raute.- 6.6 Trapez.- 6.7 Reguläres n-Eck.- 6.8 Kreis.- 6.9 Kreissektor oder Kreisausschnitt.- 6.10 Kreissegment oder Kreisabschnitt.- 6.11 Kreisring.- 6.12 Ellipse.- 7 Räumliche geometrische Körper (Stereometrie).- 7.1 Würfel.- 7.2 Quader.- 7.3 Pyramide.- 7.4 Pyramidenstumpf.- 7.5 Tetraeder oder dreiseitige Pyramide.- 7.6 Gerader Kreiszylinder.- 7.7 Gerader Kreiskegel.- 7.8 Gerader Kreiskegelstumpf.- 7.9 Kugel.- 7.10 Kugelabschnitt, Kugelsegment oder Kugelkappe.- 7.11 Kugelschicht oder Kugelzone.- 7.12 Kugelausschnitt oder Kugelsektor.- 7.13 Ellipsoid.- 7.14 Rotationsparaboloid.- 7.15 Torus.- 7.16 Guldinsche Regeln für Rotationskörper.- 8 Koordinatensysteme.- 8.1 Ebene Koordinatensysteme.- 8.1.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten.- 8.1.2 Polarkoordinaten.- 8.1.3 Koordinatentransformationen.- 8.1.3.1 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems.- 8.1.3.2 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Polarkoordinaten.- 8.2 Räumliche Koordinatensysteme.- 8.2.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten.- 8.2.2 Zylinderkoordinaten.- 8.2.3 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Zylinderkoordinaten.- II Vektorrechnung.- 1 Grundlegende Begriffe.- 1.1 Vektoren und Skalare.- 1.2 Spezielle Vektoren.- 1.3 Gleichheit von Vektoren.- 1.4 Kollineare, parallele und anti-parallele Vektoren.- 2 Komponentendarstellung eines Vektors.- 2.1 Komponentendarstellung in einem rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem.- 2.2 Komponentendarstellung spezieller Vektoren.- 2.3 Betrag und Richtungswinkel eines Vektors.- 3 Vektoroperationen.- 3.1 Addition und Subtraktion von Vektoren.- 3.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 3.3 Skalarprodukt (inneres Produkt).- 3.4 Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt).- 3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt).- 3.6 Formeln für Mehrfachprodukte.- 4 Ableitung eines Vektors nach einem Parameter.- 4.1 Vektordarstellung einer Kurve.- 4.2 Tangentenvektor (Ableitung eines Vektors nach einem Parameter).- 5 Anwendungen.- 5.1 Arbeit einer konstanten Kraft.- 5.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor.- 5.3 Parameterform einer Geraden.- 5.4 Parameterform einer Ebene.- III Funktionen und Kurven.- 1 Grundlegende Begriffe.- 1.1 Definition einer Funktion.- 1.2 Darstellungsformen einer Funktion.- 1.2.1 Analytische Darstellung.- 1.2.2 Graphische Darstellung.- 2 Allgemeine Funktionseigenschaften.- 2.1 Nullstellen.- 2.2 Symmetrie.- 2.3 Monotonie.- 2.4 Periodizität.- 2.5 Umkehrfunktion (inverse Funktion).- 3 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion.- 3.1 Grenzwert einer Folge.- 3.2Grenzwert einer Funktion.- 3.2.1 Grenzwert für x ? x0.- 3.2.2 Grenzwert für x ? ± ?.- 3.3 Rechenregeln für Grenzwerte.- 3.4 Grenzwertregel von Bernoulli und de l’Hospital.- 3.5 Stetigkeit einer Funktion.- 4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen).- 4.1 Definition der ganzrationalen Funktionen.- 4.2 Lineare Funktionen (Geraden).- 4.2.1 Allgemeine Geradengleichung.- 4.2.2 Hauptform einer Geraden.- 4.2.3 Punkt-Steigungs-Form einer Geraden.- 4.2.4 Zwei-Punkte-Form einer Geraden.- 4.2.5 Achsenabschnittsform einer Geraden.- 4.2.6 Hessesche Normalform einer Geraden.- 4.2.7 Abstand eines Punktes von einer Geraden.- 4.2.8 Schnittwinkel zweier Geraden.- 4.3 Quadratische Funktionen (Parabeln).- 4.3.1 Hauptform einer Parabel.- 4.3.2 Produktform einer Parabel.- 4.3.3 Scheitelpunktsform einer Parabel.- 4.4 Polynomfunktionen höheren Grades (n-ten Grades).- 4.4.1 Abspaltung eines Linearfaktors.- 4.4.2 Nullstellen einer Polynomfunktion.- 4.4.3 Produktdarstellung einer Polynomfunktion.- 4.5 Homer-Schema.- 4.6 Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung).- 5 Gebrochenrationale Funktionen.- 5.1 Definition der gebrochenrationalen Funktionen.- 5.2 Nullstellen, Definitionslücken, Pole.- 5.3 Asymptotisches Verhalten im Unendlichen.- 6 Potenz- und Wurzelfunktionen.- 6.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten.- 6.2 Wurzelfunktionen.- 6.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten.- 7 Trigonometrische Funktionen.- 7.1 Winkelmaße.- 7.2 Definition der trigonometrischen Funktionen.- 7.3 Sinus- und Kosinusfunktion.- 7.4 Tangens- und Kotangensfunktion.- 7.5 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen.- 7.6 Trigonometrische Formeln.- 7.6.1 Additionstheoreme.- 7.6.2 Formeln für halbe Winkel.- 7.6.3 Formeln für Winkelvielfache.- 7.6.4 Formeln für Potenzen.- 7.6.5 Formeln für Summen und Differenzen.- 7.6.6 Formeln für Produkte.- 7.7 Anwendungen in der Schwingungslehre.- 7.7.1 Allgemeine Form einer Sinus- und Kosinusfunktion.- 7.7.2 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen).- 7.7.2.1 Gleichung einer harmonischen Schwingung.- 7.7.2.2 Darstellung einer harmonischen Schwingung im Zeigerdiagramm.- 7.7.3 Superposition (Überlagerung) gleichfrequenter harmonischer Schwingungen.- 8 Arkusfunktionen.- 8.1 Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion.- 8.2 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion.- 8.3 Wichtige Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen.- 9 Exponentialfunktionen.- 9.1 Definition der Exponentialfunktionen.- 9.2 Spezielle Exponentialfunktionen aus den Anwendungen.- 9.2.1 Abklingfunktion.- 9.2.2 Sättigungsfunktion.- 9.2.3 Gauß-Funktion (Gaußsche Glockenkurve).- 9.2.4 Kettenlinie.- 10 Logarithmusfunktionen.- 10.1 Definition der Logarithmusfunktionen.- 10.2 Spezielle Logarithmusfunktionen.- 11 Hyperbelfunktionen.- 11.1 Definition der Hyperbelfunktionen.- 11.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen.- 11.3 Formeln.- 11.3.1 Additionstheoreme.- 11.3.2 Formeln für halbe Argumente.- 11.3.3 Formeln für Vielfache des Arguments.- 11.3.4 Formeln für Potenzen.- 11.3.5 Formeln für Summen und Differenzen.- 11.3.6 Formeln für Produkte.- 11.3.7 Formel von Moivre.- 12 Areafunktionen.- 12.1 Definition der Areafunktionen.- 12.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Areafunktionen.- 13 Kegelschnitte.- 13.1 Allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes.- 13.2 Kreis.- 13.2.1 Geometrische Definition.- 13.2.2 Mittelpunktsgleichung eines Kreises (Ursprungsgleichung).- 13.2.3 Kreis in allgemeiner Lage (Hauptform).- 13.2.4 Parameterdarstellung eines Kreises.- 13.2.5 Gleichung eines Kreises in Polarkoordinaten.- 13.3 Ellipse.- 13.3.1 Geometrische Definition.- 13.3.2 Mittelpunktsgleichung einer Ellipse (Ursprungsgleichung).- 13.3.3 Ellipse in allgemeiner Lage (Hauptform).- 13.3.4 Parameterdarstellung einer Ellipse.- 13.3.5 Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten.- 13.4 Hyperbel.- 13.4.1 Geometrische Definition.- 13.4.2 Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel (Ursprungsgleichung).- 13.4.3 Hyperbel in allgemeiner Lage (Hauptform).- 13.4.4 Parameterdarstellung einer Hyperbel.- 13.4.5 Gleichung einer Hyperbel in Polarkoordinaten.- 13.4.6 Gleichung einer um 90° gedrehten Hyperbel.- 13.4.7 Gleichung einer gleichseitigen oder rechtwinkligen Hyperbel (a = b).- 13.5 Parabel.- 13.5.1 Geometrische Definition.- 13.5.2 Scheitelgleichung einer Parabel.- 13.5.3 Parabel in allgemeiner Lage (Hauptform).- 13.5.4 Parameterdarstellung einer Parabel.- 13.5.5 Gleichung einer Parabel in Polarkoordinaten.- 14 Spezielle Kurven.- 14.1 Gewöhnliche Zykloide (Rollkurve).- 14.2 Epizykloide.- 14.3 Hypozykloide.- 14.4 Astroide (Sternkurve).- 14.5 Kardioide (Herzkurve).- 14.6 Lemniskate (Schleifenkurve).- 14.7 „Kleeblatt“ mit n bzw. 2n Blättern.- 14.8 Cartesisches Blatt.- 14.9 Strophoide.- 14.10 Spiralen.- 14.10.1 Archimedische Spirale.- 14.10.2 Logarithmische Spirale.- IV Differentialrechnung.- 1 Differenzierbarkeit einer Funktion.- 1.1 Differenzenquotient.- 1.2 Differentialquotient oder 1. Ableitung.- 1.3 Ableitungsfunktion.- 1.4 Höhere Ableitungen.- 1.5 Differential einer Funktion.- 2 Eiste Ableitung der elementaren Funktionen (Tabelle).- 3 Ableitungsregeln.- 3.1 Faktorregel.- 3.2 Summenregel.- 3.3 Produktregel.- 3.4 Quotientenregel.- 3.5 Kettenregel.- 3.6 Logarithmische Differentiation.- 3.7 Ableitung der Umkehrfunktion.- 3.8 Implizite Differentiation.- 3.9 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion.- 3.10 Ableitung einer in Polarkoordinaten dargestellten Funktion.- 4 Anwendungen.- 4.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung.- 4.2 Tangente und Normale.- 4.3 Linearisierung einer Funktion.- 4.4 Charakteristische Kurvenpunkte.- 4.4.1 Geometrische Deutung der 1. und 2. Ableitung.- 4.4.2 Relative Extremwerte (Maxima, Minima).- 4.4.3 Wendepunkte, Sattelpunkte.- V Integralrechnung.- 1 Bestimmtes Integral.- 1.1 Definition eines bestimmten Integrals.- 1.2 Berechnung eines bestimmten Integrals.- 1.3 Elementare Integrationsregeln für bestimmte Integrale.- 2 Unbestimmtes Integral.- 2.1 Definition eines unbestimmten Integrals.- 2.2 Allgemeine Eigenschaften der unbestimmten Integrale.- 2.3 Grund- oder Stammintegrale (Tabelle).- 3 Integrationsmethoden.- 3.1 Integration durch Substitution.- 3.1.1 Allgemeines Verfahren.- 3.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen (Tabelle).- 3.2 Partielle Integration.- 3.3 Integration gebrochenrationaler Funktionen durch Partialbruchzerlegung.- 3.3.1 Partialbruchzerlegung.- 3.3.2 Integration der Partialbrüche.- 3.4 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden.- 3.5 Numerische Integration.- 3.5.1 Trapezformel.- 3.5.2 Simpsonsche Formel.- 4 Uneigentliche Integrale.- 4.1 Unendliches Integrationsintervall.- 4.2 Integrand mit Pol.- 5 Anwendungen.- 5.1 Integration der Bewegungsgleichung.- 5.2 Arbeit einer ortsabhängigen Kraft.- 5.3 Lineare und quadratische Mittelwerte.- 5.3.1 Linearer Mittelwert.- 5.3.2 Quadratischer Mittelwert.- 5.3.3 Zeitliche Mittelwerte einer periodischen Funktion.- 5.4 Flächeninhalt.- 5.5 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche.- 5.6 Flächenträgheitsmomente (Flächenmomente 2. Grades).- 5.7 Bogenlänge einer ebenen Kurve.- 5.8 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen).- 5.9 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche).- 5.10 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers.- 5.11 Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers.- VI Lineare Algebra.- 1 Matrizen.- 1.1 Grundlegende Begriffe.- 1.1.1 Definition einer Matrix.- 1.1.2 Spezielle Matrizen.- 1.1.3 Gleichheit von Matrizen.- 1.2 Spezielle quadratische Matrizen.- 1.2.1 Diagonalmatrix.- 1.2.2 Einheitsmatrix.- 1.2.3 Dreiecksmatrix.- 1.2.4 Symmetrische Matrix.- 1.2.5 Schiefsymmetrische Matrix.- 1.2.6 Orthogonale Matrix.- 1.3 Rechenoperationen für Matrizen.- 1.3.1 Addition und Subtraktion von Matrizen.- 1.3.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar.- 1.3.3 Multiplikation von Matrizen.- 1.4 Reguläre Matrix.- 1.5 Inverse Matrix.- 1.5.1 Definition einer inversen Matrix.- 1.5.2 Berechnung einer inversen Matrix.- 1.5.2.1 Berechnung der inversen Matrix A?1 unter Verwendung von Unterdeterminanten.- 1.5.2.2 Berechnung der inversen Matrix A?1 nach dem Gaußschen Algorithmus.- 1.6 Rang einer Matrix.- 1.6.1 Definitionen.- 1.6.1.1 Unterdeterminanten einer Matrix.- 1.6.1.2 Rang einer Matrix.- 1.6.1.3 Elementare Umformungen einer Matrix.- 1.6.2 Rangbestimmung einer Matrix.- 1.6.2.1 Rangbestimmung einer (m, n)-Matrix A unter Verwendung von Unterdeterminanten.- 1.6.2.2 Rangbestimmung einer (m, n)-Matrix A mit Hilfe elementarer Umformungen.- 2 Determinanten.- 2.1 Zweireihige Determinanten.- 2.2 Dreireihige Determinanten.- 2.3 Determinanten höherer Ordnung.- 2.3.1 Unterdeterminante Dik.- 2.3.2 Algebraisches Komplement (Adjunkte) Aik.- 2.3.3 Definition einer n-reihigen Determinante.- 2.4 Laplacescher Entwicklungssatz.- 2.5 Rechenregeln für n-reihige Determinanten.- 2.6 Regeln zur praktischen Berechnung einer n-reihigen Determinante (n > 3).- 2.6.1 Elementare Umformungen einer n-reihigen Determinante.- 2.6.2 Reduzierung und Berechnung einer n-reihigen Determinante.- 3 Lineare Gleichungssysteme.- 3.1 Grundlegende Begriffe.- 3.1.1 Definition eines linearen Gleichungssystems.- 3.1.2 Spezielle lineare Gleichungssysteme.- 3.2 Lösungsverhalten eines linearen (m, n)-Gleichungssystems.- 3.2.1 Kriterium für die Lösbarkeit eines linearen (m, n)-Systems Ax = c.- 3.2.2 Lösungsmenge eines linearen (m, n)-Systems Ax = c.- 3.3 Lösungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems.- 3.4 Lösungsverfahren für ein lineares Gleichungssystem nach Gauß (Gaußscher Algorithmus).- 3.4.1 Äquivalente Umformungen eines linearen (m, n)-Systems.- 3.4.2 Gaußscher Algorithmus.- 3.5 Cramersche Regel.- VII Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen.- 1 Unendliche Reihen.- 1.1 Grundlegende Begriffe.- 1.1.1 Definition einer unendlichen Reihe.- 1.1.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe.- 1.2 Konvergenzkriterien.- 1.2.1 Quotientenkriterium.- 1.2.2 Wurzelkriterium.- 1.2.3 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen.- 1.3 Spezielle konvergente Reihen.- 2 Potenzreihen.- 2.1 Definition einer Potenzreihe.- 2.2 Konvergenzradius und Konvergenzbereich einer Potenzreihe.- 2.3 Wichtige Eigenschaften der Potenzreihen.- 3 Taylor-Reihen.- 3.1 Taylorsche und Mac Laurinsche Formel.- 3.1.1 Taylorsche Formel.- 3.1.2 Mac Laurinsche Formel.- 3.2 Taylorsche Reihe.- 3.3 Mac Laurinsche Reihe.- 3.4 Spezielle Potenzreihenentwicklungen (Tabelle).- 3.5 Näherungspolynome einer Funktion (mit Tabelle).- 4 Fourier-Reihen.- 4.1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion.- 4.2 Anwendung: Fourier-Zerlegung einer nichtsinusförmigen Schwingung.- 4.3 Spezielle Fourier-Reihen (Tabelle).- VIII Komplexe Zahlen und Funktionen.- 1 Darstellungsformen einer komplexen Zahl.- 1.1 Algebraische oder kartesische Form.- 1.2 Polarformen.- 1.2.1 Trigonometrische Form.- 1.2.2 Exponentialform.- 1.3 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen.- 1.3.1 Polarform ? Kartesische Form.- 1.3.2 Kartesische Form ? Polarform.- 2 Grundrechenarten für komplexe Zahlen.- 2.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen.- 2.2 Multiplikation komplexer Zahlen.- 2.3 Division komplexer Zahlen.- 3 Potenzieren.- 4 Radizieren (Wurzelziehen).- 5 Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl.- 6 Ortskurven.- 6.1 Komplexwertige Funktion einer reellen Variablen.- 6.2 Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Zahl.- 6.3 Inversion einer Ortskurve.- 7 Komplexe Funktionen.- 7.1 Definition einer komplexen Funktion.- 7.2 Definitionsgleichungen einiger elementarer Funktionen.- 7.2.1 Exponentialfunktion (e-Funktion).- 7.2.2 Trigonometrische Funktionen.- 7.2.3 Hyperbelfunktionen.- 7.3 Wichtige Beziehungen und Formeln.- 7.3.1 Eulersche Formeln.- 7.3.2 Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen und der komplexen e-Funktion.- 7.3.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen mit imaginärem Argument.- 7.3.4 Additionstheoreme der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen für komplexes Argument.- 7.3.5 Arkus- und Areafunktionen mit imaginärem Argument.- 8 Anwendungen in der Schwingungslehre.- 8.1 Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger.- 8.2 Ungestörte Überlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen.- IX Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen.- 1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung.- 1.1 Definition einer Funktion von mehreren Variablen.- 1.2 Darstellungsformen einer Funktion von zwei Variablen.- 1.2.1 Analytische Darstellung.- 1.2.2 Graphische Darstellung.- 1.2.2.1 Darstellung einer Funktion als Fläche im Raum.- 1.2.2.2 Schnittkurvendiagramme.- 1.2.2.3 Höhenliniendiagramm.- 1.3 Spezielle Flächen (Funktionen).- 1.3.1 Ebenen.- 1.3.2 Rotationsflächen.- 1.3.2.1 Gleichung einer Rotationsfläche.- 1.3.2.2 Spezielle Rotationsflächen.- 2 Partielle Differentiation.- 2.1 Partielle Ableitungen I. Ordnung.- 2.1.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z = f(x; y).- 2.1.2 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von y=f(x1;x2;...;xn).- 2.2 Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- 2.3 Totales oder vollständiges Differential einer Funktion.- 2.4 Anwendungen.- 2.4.1 Linearisierung einer Funktion.- 2.4.2 Relative Extremwerte (Maxima, Minima).- 3 Mehrfachintegrale.- 3.1 Doppelintegrale.- 3.1.1 Definition eines Doppelintegrals.- 3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten.- 3.1.3 Berechnung eines Doppelintegrals in Polarkoordinaten.- 3.1.4 Anwendungen.- 3.1.4.1 Flächeninhalt.- 3.1.4.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche.- 3.1.4.3 Flächenträgheitsmomente (Flächenmomente 2. Grades).- 3.2 Dreifachintegrale.- 3.2.1 Definition eines Dreifachintegrals.- 3.2.2 Berechnung eines Dreifachintegrals in kartesischen Koordinaten.- 3.2.3 Berechnung eines Dreifachintegrals in Zylinderkoordinaten.- 3.2.4 Anwendungen.- 3.2.4.1 Volumen eines zylindrischen Körpers.- 3.2.4.2 Schwerpunkt eines homogenen Körpers.- 3.2.4.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers.- 4 Linien- oder Kurvenintegrale.- 4.1 Vektorfelder.- 4.2 Definition eines Linienintegrals.- 4.2.1 Linienintegral in der Ebene.- 4.2.2 Linienintegral im Raum.- 4.3 Wegunabhängigkeit eines Linienintegrals.- 4.4 Arbeitsintegral.- X Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 1 Grundlegende Begriffe.- 1.1 Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 1.2 Lösungen einer Ditferentialgleichung.- 1.3 Anfangswertprobleme.- 1.4 Randwertprobleme.- 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung mit trennbaren Variablen.- 2.2 Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung, die durch Substitutionen lösbar sind (Tabelle).- 2.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.4.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung.- 2.4.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung.- 2.4.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung.- 2.4.3.1 Integration durch Variation der Konstanten.- 2.4.3.2 Integration durch Aufsuchen einer partikulären Lösung.- 2.4.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 3 Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 3.1 Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sich auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführen lassen (Tabelle).- 3.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 3.2.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 3.2.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung.- 3.2.2.1 Wronski-Determinante.- 3.2.2.2 Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung.- 3.2.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung.- 4 Anwendungen.- 4.1 Mechanische Schwingungen.- 4.1.1 Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik.- 4.1.2 Freie ungedämpfte Schwingung.- 4.1.3 Freie gedämpfte Schwingung.- 4.1.3.1 Schwache Dämpfung (Schwingungsfall).- 4.1.3.2 Aperiodischer Grenzfall.- 4.1.3.3 Aperiodische Schwingung (Kriechfall).- 4.1.4 Erzwungene Schwingung.- 4.1.4.1 Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung.- 4.1.4.2 Stationäre Lösung.- 4.2 Elektromagnetische Schwingungen in einem Reihenschwingkreis.- XI Fehler- und Ausgleichsrechnung.- 1 Gaußsche Normalverteilung.- 2 Mittelwert und mittlerer Fehler einer Meßreihe.- 3 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz.- 3.1 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für eine Funktion von zwei unabhängigen Variablen.- 3.2 Fehlerfortpflanzungsgesetz für spezielle Funktionen von zwei unabhängigen Variablen (Tabelle).- 3.3 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für eine Funktion von n unabhängigen Variablen.- 4 Ausgleichskurven.- 4.1 Ausgleichung nach dem Gaußschen Prinzip der kleinsten Quadrate.- 4.2 Ausgleichs- oder Regressionsgerade.- Anhang: Integraltafel.- 21 Integrale mit einer Arkusfunktion.- 29 Integrale mit einer Areafunktion.- Sachwortverzeichnis.

Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler

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Beschreibung

Details

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

27.08.2012

Verlag

Vieweg & Teubner

Seitenzahl

282

Maße (L/B/H)

24,4/17/1,7 cm

Beschreibung

Details

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

27.08.2012

Verlag

Vieweg & Teubner

Seitenzahl

282

Maße (L/B/H)

24,4/17/1,7 cm

Gewicht

534 g

Auflage

1986

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-322-98566-8

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  • I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie.- 1 Grundlegende Begriffe über Mengen.- 1.1 Definition und Darstellung einer Menge.- 1.2 Mengenoperationen.- 1.3 Spezielle Zahlenmengen.- 2 Rechnen mit reellen Zahlen.- 2.1 Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften.- 2.1.1 Rationale, irrationale und reelle Zahlen.- 2.1.2 Rundungsregeln.- 2.1.3 Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengerade.- 2.1.4 Grundrechenarten.- 2.2 Intervalle.- 2.3 Bruchrechnung.- 2.4 Potenzen und Wurzeln.- 2.5 Logarithmen.- 2.6 Binomischer Lehrsatz.- 3 Elementare (endliche) Reihen.- 3.1 Definition einer Reihe.- 3.2 Arithmetische Reihen.- 3.3 Geometrische Reihen.- 3.4 Spezielle Zahlenreihen.- 4 Gleichungen mit einer Unbekannten.- 4.1 Algebraische Gleichungen.- 4.1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen.- 4.1.2 Lineare Gleichungen.- 4.1.3 Quadratische Gleichungen.- 4.1.4 Kubische Gleichungen.- 4.1.5 Bi-quadratische Gleichungen.- 4.2 Lösungshinweise für nichtalgebraische Gleichungen.- 4.3 Graphisches Lösungsverfahren.- 4.4 Tangentenverfahren von Newton.- 5 Lehrsätze aus der elementaren Geometrie.- 5.1 Satz des Pythagoras.- 5.2 Höhensatz.- 5.3 Kathetensatz (Euklid).- 5.4 Satz des Thales.- 5.5 Strahlensätze.- 5.6 Sinussatz.- 5.7 Kosinussatz.- 6 Ebene geometrische Körper (Planimetrie).- 6.1 Dreiecke.- 6.1.1 Allgemeine Beziehungen.- 6.1.2 Spezielle Dreiecke.- 6.1.2.1 Rechtwinkliges Dreieck.- 6.1.2.2 Gleichschenkliges Dreieck.- 6.1.2.3 Gleichseitiges Dreieck.- 6.2 Quadrat.- 6.3 Rechteck.- 6.4 Parallelogramm.- 6.5 Rhombus oder Raute.- 6.6 Trapez.- 6.7 Reguläres n-Eck.- 6.8 Kreis.- 6.9 Kreissektor oder Kreisausschnitt.- 6.10 Kreissegment oder Kreisabschnitt.- 6.11 Kreisring.- 6.12 Ellipse.- 7 Räumliche geometrische Körper (Stereometrie).- 7.1 Würfel.- 7.2 Quader.- 7.3 Pyramide.- 7.4 Pyramidenstumpf.- 7.5 Tetraeder oder dreiseitige Pyramide.- 7.6 Gerader Kreiszylinder.- 7.7 Gerader Kreiskegel.- 7.8 Gerader Kreiskegelstumpf.- 7.9 Kugel.- 7.10 Kugelabschnitt, Kugelsegment oder Kugelkappe.- 7.11 Kugelschicht oder Kugelzone.- 7.12 Kugelausschnitt oder Kugelsektor.- 7.13 Ellipsoid.- 7.14 Rotationsparaboloid.- 7.15 Torus.- 7.16 Guldinsche Regeln für Rotationskörper.- 8 Koordinatensysteme.- 8.1 Ebene Koordinatensysteme.- 8.1.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten.- 8.1.2 Polarkoordinaten.- 8.1.3 Koordinatentransformationen.- 8.1.3.1 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems.- 8.1.3.2 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Polarkoordinaten.- 8.2 Räumliche Koordinatensysteme.- 8.2.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten.- 8.2.2 Zylinderkoordinaten.- 8.2.3 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Zylinderkoordinaten.- II Vektorrechnung.- 1 Grundlegende Begriffe.- 1.1 Vektoren und Skalare.- 1.2 Spezielle Vektoren.- 1.3 Gleichheit von Vektoren.- 1.4 Kollineare, parallele und anti-parallele Vektoren.- 2 Komponentendarstellung eines Vektors.- 2.1 Komponentendarstellung in einem rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem.- 2.2 Komponentendarstellung spezieller Vektoren.- 2.3 Betrag und Richtungswinkel eines Vektors.- 3 Vektoroperationen.- 3.1 Addition und Subtraktion von Vektoren.- 3.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 3.3 Skalarprodukt (inneres Produkt).- 3.4 Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt).- 3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt).- 3.6 Formeln für Mehrfachprodukte.- 4 Ableitung eines Vektors nach einem Parameter.- 4.1 Vektordarstellung einer Kurve.- 4.2 Tangentenvektor (Ableitung eines Vektors nach einem Parameter).- 5 Anwendungen.- 5.1 Arbeit einer konstanten Kraft.- 5.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor.- 5.3 Parameterform einer Geraden.- 5.4 Parameterform einer Ebene.- III Funktionen und Kurven.- 1 Grundlegende Begriffe.- 1.1 Definition einer Funktion.- 1.2 Darstellungsformen einer Funktion.- 1.2.1 Analytische Darstellung.- 1.2.2 Graphische Darstellung.- 2 Allgemeine Funktionseigenschaften.- 2.1 Nullstellen.- 2.2 Symmetrie.- 2.3 Monotonie.- 2.4 Periodizität.- 2.5 Umkehrfunktion (inverse Funktion).- 3 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion.- 3.1 Grenzwert einer Folge.- 3.2Grenzwert einer Funktion.- 3.2.1 Grenzwert für x ? x0.- 3.2.2 Grenzwert für x ? ± ?.- 3.3 Rechenregeln für Grenzwerte.- 3.4 Grenzwertregel von Bernoulli und de l’Hospital.- 3.5 Stetigkeit einer Funktion.- 4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen).- 4.1 Definition der ganzrationalen Funktionen.- 4.2 Lineare Funktionen (Geraden).- 4.2.1 Allgemeine Geradengleichung.- 4.2.2 Hauptform einer Geraden.- 4.2.3 Punkt-Steigungs-Form einer Geraden.- 4.2.4 Zwei-Punkte-Form einer Geraden.- 4.2.5 Achsenabschnittsform einer Geraden.- 4.2.6 Hessesche Normalform einer Geraden.- 4.2.7 Abstand eines Punktes von einer Geraden.- 4.2.8 Schnittwinkel zweier Geraden.- 4.3 Quadratische Funktionen (Parabeln).- 4.3.1 Hauptform einer Parabel.- 4.3.2 Produktform einer Parabel.- 4.3.3 Scheitelpunktsform einer Parabel.- 4.4 Polynomfunktionen höheren Grades (n-ten Grades).- 4.4.1 Abspaltung eines Linearfaktors.- 4.4.2 Nullstellen einer Polynomfunktion.- 4.4.3 Produktdarstellung einer Polynomfunktion.- 4.5 Homer-Schema.- 4.6 Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung).- 5 Gebrochenrationale Funktionen.- 5.1 Definition der gebrochenrationalen Funktionen.- 5.2 Nullstellen, Definitionslücken, Pole.- 5.3 Asymptotisches Verhalten im Unendlichen.- 6 Potenz- und Wurzelfunktionen.- 6.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten.- 6.2 Wurzelfunktionen.- 6.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten.- 7 Trigonometrische Funktionen.- 7.1 Winkelmaße.- 7.2 Definition der trigonometrischen Funktionen.- 7.3 Sinus- und Kosinusfunktion.- 7.4 Tangens- und Kotangensfunktion.- 7.5 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen.- 7.6 Trigonometrische Formeln.- 7.6.1 Additionstheoreme.- 7.6.2 Formeln für halbe Winkel.- 7.6.3 Formeln für Winkelvielfache.- 7.6.4 Formeln für Potenzen.- 7.6.5 Formeln für Summen und Differenzen.- 7.6.6 Formeln für Produkte.- 7.7 Anwendungen in der Schwingungslehre.- 7.7.1 Allgemeine Form einer Sinus- und Kosinusfunktion.- 7.7.2 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen).- 7.7.2.1 Gleichung einer harmonischen Schwingung.- 7.7.2.2 Darstellung einer harmonischen Schwingung im Zeigerdiagramm.- 7.7.3 Superposition (Überlagerung) gleichfrequenter harmonischer Schwingungen.- 8 Arkusfunktionen.- 8.1 Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion.- 8.2 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion.- 8.3 Wichtige Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen.- 9 Exponentialfunktionen.- 9.1 Definition der Exponentialfunktionen.- 9.2 Spezielle Exponentialfunktionen aus den Anwendungen.- 9.2.1 Abklingfunktion.- 9.2.2 Sättigungsfunktion.- 9.2.3 Gauß-Funktion (Gaußsche Glockenkurve).- 9.2.4 Kettenlinie.- 10 Logarithmusfunktionen.- 10.1 Definition der Logarithmusfunktionen.- 10.2 Spezielle Logarithmusfunktionen.- 11 Hyperbelfunktionen.- 11.1 Definition der Hyperbelfunktionen.- 11.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen.- 11.3 Formeln.- 11.3.1 Additionstheoreme.- 11.3.2 Formeln für halbe Argumente.- 11.3.3 Formeln für Vielfache des Arguments.- 11.3.4 Formeln für Potenzen.- 11.3.5 Formeln für Summen und Differenzen.- 11.3.6 Formeln für Produkte.- 11.3.7 Formel von Moivre.- 12 Areafunktionen.- 12.1 Definition der Areafunktionen.- 12.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Areafunktionen.- 13 Kegelschnitte.- 13.1 Allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes.- 13.2 Kreis.- 13.2.1 Geometrische Definition.- 13.2.2 Mittelpunktsgleichung eines Kreises (Ursprungsgleichung).- 13.2.3 Kreis in allgemeiner Lage (Hauptform).- 13.2.4 Parameterdarstellung eines Kreises.- 13.2.5 Gleichung eines Kreises in Polarkoordinaten.- 13.3 Ellipse.- 13.3.1 Geometrische Definition.- 13.3.2 Mittelpunktsgleichung einer Ellipse (Ursprungsgleichung).- 13.3.3 Ellipse in allgemeiner Lage (Hauptform).- 13.3.4 Parameterdarstellung einer Ellipse.- 13.3.5 Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten.- 13.4 Hyperbel.- 13.4.1 Geometrische Definition.- 13.4.2 Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel (Ursprungsgleichung).- 13.4.3 Hyperbel in allgemeiner Lage (Hauptform).- 13.4.4 Parameterdarstellung einer Hyperbel.- 13.4.5 Gleichung einer Hyperbel in Polarkoordinaten.- 13.4.6 Gleichung einer um 90° gedrehten Hyperbel.- 13.4.7 Gleichung einer gleichseitigen oder rechtwinkligen Hyperbel (a = b).- 13.5 Parabel.- 13.5.1 Geometrische Definition.- 13.5.2 Scheitelgleichung einer Parabel.- 13.5.3 Parabel in allgemeiner Lage (Hauptform).- 13.5.4 Parameterdarstellung einer Parabel.- 13.5.5 Gleichung einer Parabel in Polarkoordinaten.- 14 Spezielle Kurven.- 14.1 Gewöhnliche Zykloide (Rollkurve).- 14.2 Epizykloide.- 14.3 Hypozykloide.- 14.4 Astroide (Sternkurve).- 14.5 Kardioide (Herzkurve).- 14.6 Lemniskate (Schleifenkurve).- 14.7 „Kleeblatt“ mit n bzw. 2n Blättern.- 14.8 Cartesisches Blatt.- 14.9 Strophoide.- 14.10 Spiralen.- 14.10.1 Archimedische Spirale.- 14.10.2 Logarithmische Spirale.- IV Differentialrechnung.- 1 Differenzierbarkeit einer Funktion.- 1.1 Differenzenquotient.- 1.2 Differentialquotient oder 1. Ableitung.- 1.3 Ableitungsfunktion.- 1.4 Höhere Ableitungen.- 1.5 Differential einer Funktion.- 2 Eiste Ableitung der elementaren Funktionen (Tabelle).- 3 Ableitungsregeln.- 3.1 Faktorregel.- 3.2 Summenregel.- 3.3 Produktregel.- 3.4 Quotientenregel.- 3.5 Kettenregel.- 3.6 Logarithmische Differentiation.- 3.7 Ableitung der Umkehrfunktion.- 3.8 Implizite Differentiation.- 3.9 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion.- 3.10 Ableitung einer in Polarkoordinaten dargestellten Funktion.- 4 Anwendungen.- 4.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung.- 4.2 Tangente und Normale.- 4.3 Linearisierung einer Funktion.- 4.4 Charakteristische Kurvenpunkte.- 4.4.1 Geometrische Deutung der 1. und 2. Ableitung.- 4.4.2 Relative Extremwerte (Maxima, Minima).- 4.4.3 Wendepunkte, Sattelpunkte.- V Integralrechnung.- 1 Bestimmtes Integral.- 1.1 Definition eines bestimmten Integrals.- 1.2 Berechnung eines bestimmten Integrals.- 1.3 Elementare Integrationsregeln für bestimmte Integrale.- 2 Unbestimmtes Integral.- 2.1 Definition eines unbestimmten Integrals.- 2.2 Allgemeine Eigenschaften der unbestimmten Integrale.- 2.3 Grund- oder Stammintegrale (Tabelle).- 3 Integrationsmethoden.- 3.1 Integration durch Substitution.- 3.1.1 Allgemeines Verfahren.- 3.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen (Tabelle).- 3.2 Partielle Integration.- 3.3 Integration gebrochenrationaler Funktionen durch Partialbruchzerlegung.- 3.3.1 Partialbruchzerlegung.- 3.3.2 Integration der Partialbrüche.- 3.4 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden.- 3.5 Numerische Integration.- 3.5.1 Trapezformel.- 3.5.2 Simpsonsche Formel.- 4 Uneigentliche Integrale.- 4.1 Unendliches Integrationsintervall.- 4.2 Integrand mit Pol.- 5 Anwendungen.- 5.1 Integration der Bewegungsgleichung.- 5.2 Arbeit einer ortsabhängigen Kraft.- 5.3 Lineare und quadratische Mittelwerte.- 5.3.1 Linearer Mittelwert.- 5.3.2 Quadratischer Mittelwert.- 5.3.3 Zeitliche Mittelwerte einer periodischen Funktion.- 5.4 Flächeninhalt.- 5.5 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche.- 5.6 Flächenträgheitsmomente (Flächenmomente 2. Grades).- 5.7 Bogenlänge einer ebenen Kurve.- 5.8 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen).- 5.9 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche).- 5.10 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers.- 5.11 Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers.- VI Lineare Algebra.- 1 Matrizen.- 1.1 Grundlegende Begriffe.- 1.1.1 Definition einer Matrix.- 1.1.2 Spezielle Matrizen.- 1.1.3 Gleichheit von Matrizen.- 1.2 Spezielle quadratische Matrizen.- 1.2.1 Diagonalmatrix.- 1.2.2 Einheitsmatrix.- 1.2.3 Dreiecksmatrix.- 1.2.4 Symmetrische Matrix.- 1.2.5 Schiefsymmetrische Matrix.- 1.2.6 Orthogonale Matrix.- 1.3 Rechenoperationen für Matrizen.- 1.3.1 Addition und Subtraktion von Matrizen.- 1.3.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar.- 1.3.3 Multiplikation von Matrizen.- 1.4 Reguläre Matrix.- 1.5 Inverse Matrix.- 1.5.1 Definition einer inversen Matrix.- 1.5.2 Berechnung einer inversen Matrix.- 1.5.2.1 Berechnung der inversen Matrix A?1 unter Verwendung von Unterdeterminanten.- 1.5.2.2 Berechnung der inversen Matrix A?1 nach dem Gaußschen Algorithmus.- 1.6 Rang einer Matrix.- 1.6.1 Definitionen.- 1.6.1.1 Unterdeterminanten einer Matrix.- 1.6.1.2 Rang einer Matrix.- 1.6.1.3 Elementare Umformungen einer Matrix.- 1.6.2 Rangbestimmung einer Matrix.- 1.6.2.1 Rangbestimmung einer (m, n)-Matrix A unter Verwendung von Unterdeterminanten.- 1.6.2.2 Rangbestimmung einer (m, n)-Matrix A mit Hilfe elementarer Umformungen.- 2 Determinanten.- 2.1 Zweireihige Determinanten.- 2.2 Dreireihige Determinanten.- 2.3 Determinanten höherer Ordnung.- 2.3.1 Unterdeterminante Dik.- 2.3.2 Algebraisches Komplement (Adjunkte) Aik.- 2.3.3 Definition einer n-reihigen Determinante.- 2.4 Laplacescher Entwicklungssatz.- 2.5 Rechenregeln für n-reihige Determinanten.- 2.6 Regeln zur praktischen Berechnung einer n-reihigen Determinante (n > 3).- 2.6.1 Elementare Umformungen einer n-reihigen Determinante.- 2.6.2 Reduzierung und Berechnung einer n-reihigen Determinante.- 3 Lineare Gleichungssysteme.- 3.1 Grundlegende Begriffe.- 3.1.1 Definition eines linearen Gleichungssystems.- 3.1.2 Spezielle lineare Gleichungssysteme.- 3.2 Lösungsverhalten eines linearen (m, n)-Gleichungssystems.- 3.2.1 Kriterium für die Lösbarkeit eines linearen (m, n)-Systems Ax = c.- 3.2.2 Lösungsmenge eines linearen (m, n)-Systems Ax = c.- 3.3 Lösungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems.- 3.4 Lösungsverfahren für ein lineares Gleichungssystem nach Gauß (Gaußscher Algorithmus).- 3.4.1 Äquivalente Umformungen eines linearen (m, n)-Systems.- 3.4.2 Gaußscher Algorithmus.- 3.5 Cramersche Regel.- VII Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen.- 1 Unendliche Reihen.- 1.1 Grundlegende Begriffe.- 1.1.1 Definition einer unendlichen Reihe.- 1.1.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe.- 1.2 Konvergenzkriterien.- 1.2.1 Quotientenkriterium.- 1.2.2 Wurzelkriterium.- 1.2.3 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen.- 1.3 Spezielle konvergente Reihen.- 2 Potenzreihen.- 2.1 Definition einer Potenzreihe.- 2.2 Konvergenzradius und Konvergenzbereich einer Potenzreihe.- 2.3 Wichtige Eigenschaften der Potenzreihen.- 3 Taylor-Reihen.- 3.1 Taylorsche und Mac Laurinsche Formel.- 3.1.1 Taylorsche Formel.- 3.1.2 Mac Laurinsche Formel.- 3.2 Taylorsche Reihe.- 3.3 Mac Laurinsche Reihe.- 3.4 Spezielle Potenzreihenentwicklungen (Tabelle).- 3.5 Näherungspolynome einer Funktion (mit Tabelle).- 4 Fourier-Reihen.- 4.1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion.- 4.2 Anwendung: Fourier-Zerlegung einer nichtsinusförmigen Schwingung.- 4.3 Spezielle Fourier-Reihen (Tabelle).- VIII Komplexe Zahlen und Funktionen.- 1 Darstellungsformen einer komplexen Zahl.- 1.1 Algebraische oder kartesische Form.- 1.2 Polarformen.- 1.2.1 Trigonometrische Form.- 1.2.2 Exponentialform.- 1.3 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen.- 1.3.1 Polarform ? Kartesische Form.- 1.3.2 Kartesische Form ? Polarform.- 2 Grundrechenarten für komplexe Zahlen.- 2.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen.- 2.2 Multiplikation komplexer Zahlen.- 2.3 Division komplexer Zahlen.- 3 Potenzieren.- 4 Radizieren (Wurzelziehen).- 5 Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl.- 6 Ortskurven.- 6.1 Komplexwertige Funktion einer reellen Variablen.- 6.2 Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Zahl.- 6.3 Inversion einer Ortskurve.- 7 Komplexe Funktionen.- 7.1 Definition einer komplexen Funktion.- 7.2 Definitionsgleichungen einiger elementarer Funktionen.- 7.2.1 Exponentialfunktion (e-Funktion).- 7.2.2 Trigonometrische Funktionen.- 7.2.3 Hyperbelfunktionen.- 7.3 Wichtige Beziehungen und Formeln.- 7.3.1 Eulersche Formeln.- 7.3.2 Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen und der komplexen e-Funktion.- 7.3.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen mit imaginärem Argument.- 7.3.4 Additionstheoreme der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen für komplexes Argument.- 7.3.5 Arkus- und Areafunktionen mit imaginärem Argument.- 8 Anwendungen in der Schwingungslehre.- 8.1 Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger.- 8.2 Ungestörte Überlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen.- IX Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen.- 1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung.- 1.1 Definition einer Funktion von mehreren Variablen.- 1.2 Darstellungsformen einer Funktion von zwei Variablen.- 1.2.1 Analytische Darstellung.- 1.2.2 Graphische Darstellung.- 1.2.2.1 Darstellung einer Funktion als Fläche im Raum.- 1.2.2.2 Schnittkurvendiagramme.- 1.2.2.3 Höhenliniendiagramm.- 1.3 Spezielle Flächen (Funktionen).- 1.3.1 Ebenen.- 1.3.2 Rotationsflächen.- 1.3.2.1 Gleichung einer Rotationsfläche.- 1.3.2.2 Spezielle Rotationsflächen.- 2 Partielle Differentiation.- 2.1 Partielle Ableitungen I. Ordnung.- 2.1.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z = f(x; y).- 2.1.2 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von y=f(x1;x2;...;xn).- 2.2 Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- 2.3 Totales oder vollständiges Differential einer Funktion.- 2.4 Anwendungen.- 2.4.1 Linearisierung einer Funktion.- 2.4.2 Relative Extremwerte (Maxima, Minima).- 3 Mehrfachintegrale.- 3.1 Doppelintegrale.- 3.1.1 Definition eines Doppelintegrals.- 3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten.- 3.1.3 Berechnung eines Doppelintegrals in Polarkoordinaten.- 3.1.4 Anwendungen.- 3.1.4.1 Flächeninhalt.- 3.1.4.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche.- 3.1.4.3 Flächenträgheitsmomente (Flächenmomente 2. Grades).- 3.2 Dreifachintegrale.- 3.2.1 Definition eines Dreifachintegrals.- 3.2.2 Berechnung eines Dreifachintegrals in kartesischen Koordinaten.- 3.2.3 Berechnung eines Dreifachintegrals in Zylinderkoordinaten.- 3.2.4 Anwendungen.- 3.2.4.1 Volumen eines zylindrischen Körpers.- 3.2.4.2 Schwerpunkt eines homogenen Körpers.- 3.2.4.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers.- 4 Linien- oder Kurvenintegrale.- 4.1 Vektorfelder.- 4.2 Definition eines Linienintegrals.- 4.2.1 Linienintegral in der Ebene.- 4.2.2 Linienintegral im Raum.- 4.3 Wegunabhängigkeit eines Linienintegrals.- 4.4 Arbeitsintegral.- X Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 1 Grundlegende Begriffe.- 1.1 Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 1.2 Lösungen einer Ditferentialgleichung.- 1.3 Anfangswertprobleme.- 1.4 Randwertprobleme.- 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung mit trennbaren Variablen.- 2.2 Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung, die durch Substitutionen lösbar sind (Tabelle).- 2.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.4.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung.- 2.4.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung.- 2.4.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung.- 2.4.3.1 Integration durch Variation der Konstanten.- 2.4.3.2 Integration durch Aufsuchen einer partikulären Lösung.- 2.4.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 3 Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 3.1 Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sich auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführen lassen (Tabelle).- 3.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 3.2.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 3.2.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung.- 3.2.2.1 Wronski-Determinante.- 3.2.2.2 Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung.- 3.2.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung.- 4 Anwendungen.- 4.1 Mechanische Schwingungen.- 4.1.1 Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik.- 4.1.2 Freie ungedämpfte Schwingung.- 4.1.3 Freie gedämpfte Schwingung.- 4.1.3.1 Schwache Dämpfung (Schwingungsfall).- 4.1.3.2 Aperiodischer Grenzfall.- 4.1.3.3 Aperiodische Schwingung (Kriechfall).- 4.1.4 Erzwungene Schwingung.- 4.1.4.1 Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung.- 4.1.4.2 Stationäre Lösung.- 4.2 Elektromagnetische Schwingungen in einem Reihenschwingkreis.- XI Fehler- und Ausgleichsrechnung.- 1 Gaußsche Normalverteilung.- 2 Mittelwert und mittlerer Fehler einer Meßreihe.- 3 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz.- 3.1 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für eine Funktion von zwei unabhängigen Variablen.- 3.2 Fehlerfortpflanzungsgesetz für spezielle Funktionen von zwei unabhängigen Variablen (Tabelle).- 3.3 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für eine Funktion von n unabhängigen Variablen.- 4 Ausgleichskurven.- 4.1 Ausgleichung nach dem Gaußschen Prinzip der kleinsten Quadrate.- 4.2 Ausgleichs- oder Regressionsgerade.- Anhang: Integraltafel.- 21 Integrale mit einer Arkusfunktion.- 29 Integrale mit einer Areafunktion.- Sachwortverzeichnis.